2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Механическая система из двух точек с нулевыми скоростями
Сообщение08.08.2021, 23:01 


13/04/16
102
Читаю самое начало Арнольда "Математические методы классической механики": определены галилеево пространство, инерциальная система координат (как галилеев изоморфизм с координатным галилеевым пространством $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^3$) уравнение Ньютона
$$\ddot{x} = F(t, x, \dot{x})$$
где $x \colon \mathbb{R} \to (\mathbb{R}^3)^n$ движение системы $n$ точек. Из инвариантности относительно галилеевых преобразований получены ограничения на $F$ -- она не зависит от $t$, зависит только от относительных положений, относительных скоростей и не меняется при поворотах.

Не понимаю как решить

Задача 2. Механическая система состоит из двух точек. В начальный момент их скорости (в некоторой инерциальной системе координат) равны нулю. Докажите, что точки будут двигаться по соединяющей их прямой.

Например, предыдущая

Задача 1. Докажите, что если механическая система состоит из одной точки, то её ускорение в инерциальной системе координат равно нулю.

Решается просто: из инвариантности относительно галилеевых преобразований $F = a$ постоянный вектор, а из инвариантности относительно вращений $a = 0$.

Я не понимаю как использовать условие, что начальные скорости равны $0$. Да, в этот момент мы знаем, что $x, \dot{x}$ симметрично относительно вращений прямой проходящей через точки, следовательно и ускорение должно лежать в этой прямой. Но как мы перейдем к следующим моментам? Неужели тут предполагается вещественная индукция?

 Профиль  
                  
 
 Re: Механическая система из двух точек с нулевыми скоростями
Сообщение10.08.2021, 10:37 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
Если решение одно - то оно лежит на оси симметрии. Почему оно одно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Механическая система из двух точек с нулевыми скоростями
Сообщение12.08.2021, 19:11 


13/04/16
102
Решение одно по теореме единственности решения задачи Коши (гладкости правой части достаточно).

Если бы решение не лежало на оси симметрии, то под действием вращения (гамильтонового преобразования сохраняющего начальные данные) мы получали бы новые решения, понятно, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group