нюанс с тороидальной системой координат

[reterty]

Арфкен, "Математические методы в физике". 1970 https://ua1lib.org/book/446239/16fc92?i ... ret=16fc92
страницы 110-112, формула (2.124). Вместо $z$ в левой части должен стоять $\vert z \vert$? Дело в том, что $z$ со знаком плюс описывает лишь верхнюю сферу (см.рисунок 2.14). Нижняя координатная сфера должна описываться знаком минус перед $z$.... Другими словами, тороидальные координаты должны быть инвариантны относительно смены знака декартовых координат.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- The page cannot be found.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[svv]

Примем несколько упрощающих соглашений. Во-первых, положим $a=1$. Во-вторых, воспользуемся осевой симметрией. Тороидальная координата $\varphi$ совпадает с одноимённой цилиндрической. Поэтому вместо (2.122) можно рассмотреть более простые выражения цилиндрических координат через тороидальные:
$\rho=\dfrac{\sh\eta}{\ch\eta-\cos\xi}\quad z=\dfrac{\sin\xi}{\ch\eta-\cos\xi}$
Координата $\xi$ входит в эти формулы через $2\pi$-периодические $\sin\xi, \cos\xi$, поэтому можно считать (и это удобнее), что $\xi\in[-\pi;+\pi]$.

За исключением случая $\eta=\xi=0$, знаменатели положительны. Видно, что $z>0$ соответствует $\xi\in(0,+\pi)$, а $z<0$ соответствует $\xi\in(-\pi,0)$. Поэтому называть сферы, о которых говорится перед формулой (2.124), «сферами постоянного $\xi$» можно только условно. На такой сфере $\xi$ постоянно в верхнем полупространстве $(z>0)$ и в нижнем полупространстве $(z<0)$, но не на сфере в целом. Связь между «верхним» и «нижним» постоянными значениями $\xi$ на сфере даётся формулой $\xi^-=\xi^+-\pi$. Но так как в формулу (2.124) $\xi$ входит только в виде $\pi$-периодического $\ctg\xi$, эта формула при переходе через $z=0$ «ничего не почувствует». Вот такой нюанс надо учитывать.

Пусть $\rho=0$, тогда $\eta=0$, и
$z=\dfrac{\sin\xi}{1-\cos\xi}=\dfrac{1+\cos\xi}{\sin\xi}$
В этой формуле $\xi$ однозначно определяет $z$. Как это согласуется с тем, что сфера пересекает ось $Oz$ в двух точках? Ответ в предыдущем абзаце: в верхнем полупространстве надо брать $\xi^+$, в нижнем $\xi^-$. Тогда получим две точки пересечения сферы с $Oz$:
$z=\ctg\xi\pm\csc\xi$, где $\xi$ — любое из $\xi^+,\xi^-$.
По формулам Виета находим квадратное уравнение с такими корнями:
$z^2-2z\ctg\xi-1=0$
Это совпадает с формулой (2.124), если в ней положить $x=y=0, a=1$. Эта проверка показывает, что модуль при $z$ не нужен.

Верхняя и симметричная ей относительно плоскости $z=0$ нижняя сферы отличаются знаком $\xi$ (вообще, смена знака $\xi$ приводит к смене знака $z$ при сохранении значения $\rho$). Переходя от верхней сферы к нижней, Вы измените знак $\ctg \xi$ в формуле (2.124). Если Вы дополнительно замените $z$ на $-z$, формула вернётся к прежнему виду, так что с инвариантностью всё в порядке.