Примем несколько упрощающих соглашений. Во-первых, положим

. Во-вторых, воспользуемся осевой симметрией. Тороидальная координата

совпадает с одноимённой цилиндрической. Поэтому вместо (2.122) можно рассмотреть более простые выражения цилиндрических координат через тороидальные:

Координата

входит в эти формулы через

-периодические

, поэтому можно считать (и это удобнее), что
![$\xi\in[-\pi;+\pi]$ $\xi\in[-\pi;+\pi]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/7/267de459ac01b6d2785aa83ad885bcb982.png)
.
За исключением случая

, знаменатели положительны. Видно, что

соответствует

, а

соответствует

. Поэтому называть сферы, о которых говорится перед формулой (2.124), «сферами постоянного

» можно только условно. На такой сфере

постоянно в верхнем полупространстве

и в нижнем полупространстве

, но не на сфере в целом. Связь между «верхним» и «нижним» постоянными значениями

на сфере даётся формулой

. Но так как в формулу (2.124)

входит только в виде

-периодического

, эта формула при переходе через

«ничего не почувствует». Вот такой нюанс надо учитывать.
Пусть

, тогда

, и

В этой формуле

однозначно определяет

. Как это согласуется с тем, что сфера пересекает ось

в двух точках? Ответ в предыдущем абзаце: в верхнем полупространстве надо брать

, в нижнем

. Тогда получим две точки пересечения сферы с

:

, где

— любое из

.
По формулам Виета находим квадратное уравнение с такими корнями:

Это совпадает с формулой (2.124), если в ней положить

. Эта проверка показывает, что модуль при

не нужен.
Верхняя и симметричная ей относительно плоскости

нижняя сферы отличаются знаком

(вообще, смена знака

приводит к смене знака

при сохранении значения

). Переходя от верхней сферы к нижней, Вы измените знак

в формуле (2.124). Если Вы дополнительно замените

на

, формула вернётся к прежнему виду, так что с инвариантностью всё в порядке.