Балка на упругом оcновании (ОДУ)

[euler132]

Доброго времени cуток!

Подcкажите, пожалуйcта, как работает решение задачи (ОДУ балка на упругом оcновании)?

Дифф. уравнение однородное $w'''' + 4 \beta^4 w = q(x) = 0$

Общее решение ОДУ: $w = e^{\beta x} [ c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x) ] + e^{-\beta x} [ c_3 \cos(\beta x) + c_4 \sin(\beta x) ] $

Мои граничные условия:

BC1 - $w(0)=0$,
BC2 - $w'(0)=0$,
BC3 - $w'(l)=0$ and
BC4 - $EIw'''(l) = -V $.

В зарубежной литературе нашел следующий способ нахождения постоянных $c_1$ по $c_4$: используется решение вида $w = c_0 e^{-\beta x} \sin(\beta x) $. Помогите понять, откуда оно берется? Данное уравнение дифференцируется 4 раза:

$w' = - \beta \sqrt{2} c_0 e^{- \beta x } \sin(\beta x - \pi /4 )$

$w'' = \beta^2 2 c_0 e^{- \beta x } \sin(\beta x - \pi /2 )$

$w''' = - \beta^3 2\sqrt{2} c_0 e^{- \beta x } \sin(\beta x - 3 \pi /4 )$

Используя граничное условие 3, к примеру, мы получаем $c_0=0$, что являтся тривиальным решением. Помогите найти ошибку, пожалуйста.

Заранее cпаcибо!

[Lia]

euler132
На форуме картинки, содержащие текст и формулы, принято оформлять соотв. образом (а не вставлять картинкой). Картинки со временем пропадают. Вас интересует только начало, это три формулы. Набрать недолго. Язык можно и сохранить, на усмотрение.

Заодно изложите свои соображения.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
.

[Red_Herring]

euler132 в сообщении #1527679 писал(а):

используется решение вида Помогите понять, откуда оно берется?

Из дурной головы. Вам надо либо честно начать с общего решения, либо догадаться до двух линейно независимых решений, удовлетвиряющих двум первым краевым условиям. Одно из них очевидно:

$$\sinh (\beta x)\sin (\beta x)$$

а второе несложно:

$$\cosh(\beta x)\sin(\beta x) -\sinh(\beta x)\cos (\beta x).$$

[Pphantom]

euler132 в сообщении #1527679 писал(а):

В зарубежной литературе нашел следующий способ нахождения постоянных $c_1$ по $c_4$: используется решение вида $w = c_0 e^{-\beta x} \sin(\beta x) $. Помогите понять, откуда оно берется?

А какой физический смысл имеет $w$?

[Red_Herring]

Pphantom в сообщении #1527708 писал(а):

А какой физический смысл имеет $w$?

Я подозреваю что никакого, просто кусок решения. А вот физический смысл уравнения неясен. Почему ${\color{blue}\boldsymbol{+}}4\beta^4$?

И в данной задаче гиперболические функции гораздо удобнее экспонент из-за условий при $x=0$.

[Pphantom]

Red_Herring в сообщении #1527718 писал(а):

Я подозреваю что никакого, просто кусок решения.

Может быть, но есть и вариант, что имеет. Тогда, например, колебания с экспоненциально растущей амплитудой выкидываются из физических соображений, если там подкачки энергии в систему нет.

[Red_Herring]

Pphantom в сообщении #1527719 писал(а):

колебания с экспоненциально растущей амплитудой

Я по ошибке написал $t$ вместо $x$ (исправлено). Поскольку это краевая задача, то переменная пространственная, а не временная.

[Pphantom]

Red_Herring в сообщении #1527721 писал(а):

Поскольку это краевая задача, то переменная пространственная, а не временная.

Да, логично, тогда этот пример не годится. Но еще что-нибудь другое может найтись.