Траектория точки пересечения

[lel0lel]

Две полупрямые закреплённые в точках $O_1, O_2$ вращаются с одинаковой угловой скоростью навстречу друг другу. Найдите уравнение траектории точки пересечения $C$ и опишите, что это за кривая в зависимости от начального положения полупрямых.

На первый взгляд задача по физике, но на второй, оказывается, что в ней больше математики, поэтому решил добавить её в этот раздел.

[nnosipov]

lel0lel
Вот у меня такой текстик обнаружился (см. прилагаемый файл), там в конце ответ на вопрос.

[xagiwo]

(Оффтоп)

Пусть $O_1 = (-1;0), O_2 = (1;0)$, а начальное положение двух прямых — под равным углом $\alpha$ против часовой к $O_1O_2$, тогда уравнение выглядит как

$$(x\sin\alpha - y\cos\alpha)(x\cos\alpha+y\sin\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha$$

Кусок доказательства:
Рисунок 1
Пусть для начала наши прямые повернулись на угол $\varphi \in (-\pi/2; \pi/2)$. Как легко видеть из рисунка, биссектриса $CL$ параллельна нач. положению прямых (далее начполпрям). Обратно, если бисс. паралл. начполпрям, то $C$ лежит на траектории. В случае же, когда угол поворота $\notin (-\pi/2; \pi/2)$, начполпряму будет параллельна внешняя бисс. $\triangle O_1CO_2$

Любую такую точку $C$ можно построить при помощи леммы о трезубце следующим образом: отметим на серпере к $O_1O_2$ некоторую точку $P$, которая станет пересечением биссектрисы с серпером. Опишем окружность вокруг $\triangle PO_1O_2$ — это будущая описанная окружность $\triangle O_1CO_2$. И наконец, проведём через $P$ прямую, паралл. начполпрям — это и есть наша бисс., а точка её пересечения с окружностью есть $C$. Вот рисунок 2 — на точку $Q$ не смотрите, а $CP$ есть бисс. в $\triangle O_1CO_2$ (мы строим $P$, затем окружность, а затем $PC$)

Пусть $P=(0;t)$, тогда $Q=(0;-1/t)$ по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд. Тогда $\triangle PCQ$ — прямоугольный с известными углами и стороной, можно опустить из $C$ перпендикуляр $CT$ на $PQ$ и найти $x = -CT = -(t+1/t)\sin\alpha\cos\alpha$, $y = t - PT = t - (t+1/t)\sin^2\alpha = t\cos^2\alpha - 1/t \sin^2\alpha$, то есть $y\sin\alpha + x\cos\alpha = -1/t\sin\alpha$, $y\cos\alpha - x\sin\alpha = t\cos\alpha$ и, наконец, $(x\sin\alpha - y\cos\alpha)(x\cos\alpha+y\sin\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha$

[lel0lel]

nnosipov
Спасибо за бумагу, не знал, что эта задача с историей.

Да, гипербола это наиболее вероятная кривая, которая получается при произвольном выборе начальных условий, но ещё возможны прямые и параболы. В общем я решал примерно так: координатным методом находим уравнения двух прямых в зависимости от времени, находим их точку пересечения и получаем параметрическое уравнение траектории. Затем исключаем из него время, тут потребуется формула тангенс суммы. Приходом к уравнению кривой второго порядка с параметрами $h, \alpha, \beta$. Далее как на первом курсе -- ищем инварианты и исследуем когда какая кривая. Собственно это и есть вопрос задачи -- когда будет получаться парабола, а когда прямая, в остальных случаях будут действительно гиперболы. xagiwo верно рассмотрел частный случай начальных параметров.

[xagiwo]

lel0lel вроде как всегда гипербола (или две прямых — вырожденная гипербола), или я чего-то не учёл?

[lel0lel]

У меня возникают ещё и параболы. Позже выложу решение.

[xagiwo]

lel0lel есть такое нестрогое рассуждение, которое не позволяет параболы: если начать с двух параллельных прямых (а в какой-то момент две прямые будут параллельны), то в момент их параллельности их пересечением можно считать две бесконечно удалённые точки с противоположных сторон (если прямые чуть повернуть, эти бесконечно удалённые точки станут просто далёкими). Если эти прямые повернуть ещё на $90\textdegree$, то получим ещё две бесконечно удалённые точки, то есть их уже четыре. А у параболы их две, и все с одной стороны

-- 30.07.2021, 13:18 --

Ой, я думал, что вращаются прямые, и решал задачу для прямых. Но всё равно, если для прямых не получается параболы, то и для полупрямых не должно

[lel0lel]

Возможно, что я и ошибся в выкладках, перепроверю и напишу.

[lel0lel]

Допустил ошибку при переписывании уравнения кривой и поэтому исследовал другую кривую, никаких парабол, конечно, здесь нет. Если выбрать систему координат с центром в точке $O_2$, то получаем следующее уравнение:

$$\left(x^2-y^2\right)\sin (\alpha+2 \beta)-2x y \cos (\alpha+2 \beta) +hx\cos (\alpha+2 \beta)+hy\sin (\alpha+2 \beta) =0$$

Каким-то образом у меня вместо $x^2$ в тетради написано $x$, отсюда и параболы. Если исследовать правильную кривую, то получим либо гиперболу, либо прямую, так как инварианты: $I_2=-1, I_3=\frac{h^2+4}{4} \sin (\alpha+2 \beta)$. Кстати, угол $\alpha+2 \beta=2(\beta+\varphi)$, то есть всё однозначно определяется углом между биссектрисой и $O_1O_2$, как в решении xagiwo. В целом решение xagiwo весьма изящное, у меня что называется решение лобовое.