2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Траектория точки пересечения
Сообщение29.07.2021, 23:20 


20/04/10
1776
Две полупрямые закреплённые в точках $O_1, O_2$ вращаются с одинаковой угловой скоростью навстречу друг другу. Найдите уравнение траектории точки пересечения $C$ и опишите, что это за кривая в зависимости от начального положения полупрямых.
Изображение
На первый взгляд задача по физике, но на второй, оказывается, что в ней больше математики, поэтому решил добавить её в этот раздел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Траектория точки пересечения
Сообщение30.07.2021, 06:53 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
lel0lel
Вот у меня такой текстик обнаружился (см. прилагаемый файл), там в конце ответ на вопрос.


Вложения:
lebesgue-the-lighthouse-theorem-new.pdf [260.31 Кб]
Скачиваний: 106
 Профиль  
                  
 
 Re: Траектория точки пересечения
Сообщение30.07.2021, 10:11 
Аватара пользователя


23/12/18
430

(Оффтоп)

Пусть $O_1 = (-1;0), O_2 = (1;0)$, а начальное положение двух прямых — под равным углом $\alpha$ против часовой к $O_1O_2$, тогда уравнение выглядит как $$(x\sin\alpha - y\cos\alpha)(x\cos\alpha+y\sin\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha$$
Кусок доказательства:
Рисунок 1
Пусть для начала наши прямые повернулись на угол $\varphi \in (-\pi/2; \pi/2)$. Как легко видеть из рисунка, биссектриса $CL$ параллельна нач. положению прямых (далее начполпрям). Обратно, если бисс. паралл. начполпрям, то $C$ лежит на траектории. В случае же, когда угол поворота $\notin (-\pi/2; \pi/2)$, начполпряму будет параллельна внешняя бисс. $\triangle O_1CO_2$

Любую такую точку $C$ можно построить при помощи леммы о трезубце следующим образом: отметим на серпере к $O_1O_2$ некоторую точку $P$, которая станет пересечением биссектрисы с серпером. Опишем окружность вокруг $\triangle PO_1O_2$ — это будущая описанная окружность $\triangle O_1CO_2$. И наконец, проведём через $P$ прямую, паралл. начполпрям — это и есть наша бисс., а точка её пересечения с окружностью есть $C$. Вот рисунок 2 — на точку $Q$ не смотрите, а $CP$ есть бисс. в $\triangle O_1CO_2$ (мы строим $P$, затем окружность, а затем $PC$)

Пусть $P=(0;t)$, тогда $Q=(0;-1/t)$ по теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд. Тогда $\triangle PCQ$ — прямоугольный с известными углами и стороной, можно опустить из $C$ перпендикуляр $CT$ на $PQ$ и найти $x = -CT = -(t+1/t)\sin\alpha\cos\alpha$, $y = t - PT = t - (t+1/t)\sin^2\alpha = t\cos^2\alpha - 1/t \sin^2\alpha$, то есть $y\sin\alpha + x\cos\alpha = -1/t\sin\alpha$, $y\cos\alpha - x\sin\alpha = t\cos\alpha$ и, наконец, $(x\sin\alpha - y\cos\alpha)(x\cos\alpha+y\sin\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha$

 Профиль  
                  
 
 Re: Траектория точки пересечения
Сообщение30.07.2021, 12:31 


20/04/10
1776
nnosipov
Спасибо за бумагу, не знал, что эта задача с историей.

Да, гипербола это наиболее вероятная кривая, которая получается при произвольном выборе начальных условий, но ещё возможны прямые и параболы. В общем я решал примерно так: координатным методом находим уравнения двух прямых в зависимости от времени, находим их точку пересечения и получаем параметрическое уравнение траектории. Затем исключаем из него время, тут потребуется формула тангенс суммы. Приходом к уравнению кривой второго порядка с параметрами $h, \alpha, \beta$. Далее как на первом курсе -- ищем инварианты и исследуем когда какая кривая. Собственно это и есть вопрос задачи -- когда будет получаться парабола, а когда прямая, в остальных случаях будут действительно гиперболы. xagiwo верно рассмотрел частный случай начальных параметров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Траектория точки пересечения
Сообщение30.07.2021, 12:55 
Аватара пользователя


23/12/18
430
lel0lel вроде как всегда гипербола (или две прямых — вырожденная гипербола), или я чего-то не учёл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Траектория точки пересечения
Сообщение30.07.2021, 13:01 


20/04/10
1776
У меня возникают ещё и параболы. Позже выложу решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Траектория точки пересечения
Сообщение30.07.2021, 13:05 
Аватара пользователя


23/12/18
430
lel0lel есть такое нестрогое рассуждение, которое не позволяет параболы: если начать с двух параллельных прямых (а в какой-то момент две прямые будут параллельны), то в момент их параллельности их пересечением можно считать две бесконечно удалённые точки с противоположных сторон (если прямые чуть повернуть, эти бесконечно удалённые точки станут просто далёкими). Если эти прямые повернуть ещё на $90\textdegree$, то получим ещё две бесконечно удалённые точки, то есть их уже четыре. А у параболы их две, и все с одной стороны

-- 30.07.2021, 13:18 --

Ой, я думал, что вращаются прямые, и решал задачу для прямых. Но всё равно, если для прямых не получается параболы, то и для полупрямых не должно

 Профиль  
                  
 
 Re: Траектория точки пересечения
Сообщение30.07.2021, 13:20 


20/04/10
1776
Возможно, что я и ошибся в выкладках, перепроверю и напишу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Траектория точки пересечения
Сообщение30.07.2021, 16:50 


20/04/10
1776
Допустил ошибку при переписывании уравнения кривой и поэтому исследовал другую кривую, никаких парабол, конечно, здесь нет. Если выбрать систему координат с центром в точке $O_2$, то получаем следующее уравнение:
$$\left(x^2-y^2\right)\sin (\alpha+2 \beta)-2x y \cos (\alpha+2 \beta) +hx\cos (\alpha+2 \beta)+hy\sin (\alpha+2 \beta) =0$$Каким-то образом у меня вместо $x^2$ в тетради написано $x$, отсюда и параболы. Если исследовать правильную кривую, то получим либо гиперболу, либо прямую, так как инварианты: $I_2=-1, I_3=\frac{h^2+4}{4} \sin (\alpha+2 \beta)$. Кстати, угол $\alpha+2 \beta=2(\beta+\varphi)$, то есть всё однозначно определяется углом между биссектрисой и $O_1O_2$, как в решении xagiwo. В целом решение xagiwo весьма изящное, у меня что называется решение лобовое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group