Как понимать "for any" в математических текстах?

[ellipse]

Сомневался в каком разделе создать тему: гуманитарный(лингвистика) или математика. Решил в математику, потому что, как мне кажется, с такими нюансами чаще сталкиваются математики.

Английский у меня сильно хромает, а читать и писать иногда надо. Вопрос в том, как можно понимать словосочетание "for any" в математических текстах.

Например, может ли англоязычный читатель в предложении "If for any real number x the value of f(x) is 0, then the function f(x) is identically zero" понять "for any real number x" как "для некоторого вещественного x"?

И наоборот, может ли в предложении "If for any real number x the value of f(x) is 0, then the domain of the function 1/f(x) is not the whole real line" понять "for any real number x" как "для любого вещественного x"?

Наверно, лучше использовать for all или for each/for every, но иногда в литературе попадается for any.

[wrest]

"For any" а так же "for all" это $\forall$
Т.е. "для любого" и "для всех", но не "для некоторых"

[ellipse]

wrest в сообщении #1526773 писал(а):

"For any" а так же "for all" это $\forall$
Т.е. "для любого" и "для всех", но не "для некоторых"

На англоязычном форуме пишут, что можно понимать как "существует". Комментатор ошибается?

[Dan B-Yallay]

ellipse в сообщении #1526777 писал(а):

На англоязычном форуме пишут
, что можно понимать как "существует". Комментатор ошибается?

Комментатор не ошибается и в приведенном им примере any действительно означает "хотя бы для каких-то (существуют такие, что)". Но обычно из контекста ясно, какой смысл вкладывается в слово "any". Аналогично в русском языке фраза "между точками $0.5$ и $\sqrt 7$ функция $f(x)$ принимает значение $0$" . Эта фраза может означать как то, что функция $f = 0$ на всём интервале между указанными точками, так и то, что она обращается в нуль хотя бы в одной точкe .

[ellipse]

Dan B-Yallay в сообщении #1526778 писал(а):

Но обычно из контекста ясно, какой смысл вкладывается в слово "any".

Как понять контекст, не доказывая теорему?

Dan B-Yallay в сообщении #1526778 писал(а):

Аналогично в русском языке

Что в русском языке по смыслу ближе к any? Можно сказать, что оно близко по смыслу к "произвольный" или "какой-то любой"?

[Dan B-Yallay]

ellipse в сообщении #1526780 писал(а):

Как понять контекст, не доказывая теорему?

Если нет "предисловия" к теореме в виде предваряющих рассуждений, то, наверное, никак. Пишите сюда, на форум - чем сможем, тем и ... Можно еще попытаться на смысл взглянуть. Например, в утверждении

если в любой точке на интервале (0, 1) функция обращается в ноль, то интеграл Римана от нее равен нулю
очевидно, что речь идёт именно обо всех точках.

С другой стороны в утверждении

если в любой точке на интервале (0, 1) функция обращается в ноль, то обратной для неё функции не существует

понятно, что говорится о существовании.

ellipse в сообщении #1526780 писал(а):

Что в русском языке по смыслу ближе к any? Можно сказать, что оно близко по смыслу к "произвольный" или "какой-то любой"?

Я бы сказал, что близким по смыслу словом в русском языке будет "любой(ая/ое)". У него есть аналогичные трактовки: любой (какой ни возьми) и любой (хоть какой-нибудь один). Но всё же я не лингвист, поэтому изложенное выше надо воспринимать как имхо.

[kotenok gav]

ellipse в сообщении #1526771 писал(а):

Например, может ли англоязычный читатель в предложении "If for any real number x the value of f(x) is 0, then the function f(x) is identically zero" понять "for any real number x" как "для некоторого вещественного x"?

Не может.

ellipse в сообщении #1526771 писал(а):

И наоборот, может ли в предложении "If for any real number x the value of f(x) is 0, then the domain of the function 1/f(x) is not the whole real line" понять "for any real number x" как "для любого вещественного x"?

А вот здесь 50/50. Но по смыслу поймёт правильно.

[Otta]

Предложение вгоняет в ступор: понять его невозможно никак. Если речь идет о произвольном $x$, то $f$ тождественно нулевая и делить на нее нельзя вообще. Если речь о некотором $x$, то $f(x)$ во второй части предложения не функция, а значение функции именно в этой точке, то есть речь идет о делении на значение функции в ее нуле, что опять же маразм.

Одним словом, я не знаю как это понимать, кроме того, что математик бы так не написал.

[iifat]

А с какого места проблем? По-моему, совершенно правильно написано: $\forall x \left(f(x)=0\Rightarrow D(f)\ne\mathbb{R}\right)$. И означает именно «для любого».

[Otta]

iifat
Там функцию только исправьте.
Не, так-то я не против (хотя зачем делить на ноль, вопрос остался, однако мы не о том), но автор на скрине говорит ведь, что смысл, мол, другой, а вовсе не тот...

[iifat]

Otta в сообщении #1526827 писал(а):

Там функцию только исправьте

Виноват: $\forall x \left(f(x)=0\Rightarrow D(\frac1f)\ne\mathbb{R}\right)$.

Otta в сообщении #1526827 писал(а):

автор на скрине говорит ведь, что смысл, мол, другой

Говорит. Но ведь никто не обязан с ним соглашаться, не? Я думаю, автор неверно понял фразу. В его понимании там сказано $\left(\exists x f(x)=0\right)\Rightarrow D(\frac1f)\ne\mathbb R$. Вот так вот, не выписывая точно на бумаге, подозреваю, что высказывания равносильны, но, на мой взгляд, сказано таки именно первое.

[Otta]

Ну вот тут товарищ ответствует, что надобно различать контексты https://math.stackexchange.com/question ... nd-for-all
Но признаться, я не улавливаю нюансов. Видимо, я чего-то не знаю: то ли английский, то ли математику, то ли да.

[xagiwo]

iifat в сообщении #1526832 писал(а):

$$\forall x \left(f(x)=0\Rightarrow D(\frac1f)\ne\mathbb{R}\right)$$

В исходной формулировке $D(\frac{1}{f(x)})$, что при фиксированном $x$ не проходит. А ещё порядок слов не тот, "for any" стоит после "if"

[Otta]

В исходной формулировке все не по-людски ( и даже буквы какие-то не те.

[xagiwo]

Otta, В-Вы на что-то намекаете? я не понимаю намёков