Квадратичные формы псевдосферы

[misha.physics]

Здравствуйте.
Что-то теперь ответ в учебнике у меня совсем не сходится, может он вообще для чего-то другого.

Итак, вращаем трактрису $x=a\sin u$, $z=a\left(\cos u+\ln\tg\displaystyle\frac{u}{2}\right)$, $u\in[\pi/2;\pi)$, вокруг оси $Oz$ и получаем псевдосферу (её верхнюю половинку). В учебнике говорится, что её квадратичные формы такие:

(Рис.)

А я получаю такие:

$$I=a^2\ctg^2u\;du^2+a^2\sin^2u\;dv^2,\qquad II=a\ctg u\;du^2-a\sin u\cos u\;dv^2.$$

Первая кстати совпадает с выражением в Википедии, а вторая отличается только знаком. Но в Википедии берется угол $u$ из первой четверти. Да и вообще, знаковое отличие второй формы можно объяснить выбором противоположного направления нормали поверхности. Но интересно, имеют ли формулы в учебнике какое-то отношение к псевдосфере? Видно, например, что при $u=3\pi/4$ коэффициенты $E$ (возле $du^2$ в первой форме) будут отличаться.

А есть ли смысл рассматривать значение $u=\pi/2$, отвечающее точкам псевдосферы принадлежащим плоскости $xOy$ (там, где "подножие" псевдосферы)?

(Рис.)

Можно ли утверждать, что при $u=\pi/2$ гауссова кривизна псевдосферы тоже равна $K=-1/a^2$? Ещё, если мы в первую форму подставим $u=\pi/2$, $dv=0$, то есть попробуем найти маленькое расстояние от "подножия" псевдосферы вдоль меридиана вверх, то получим ноль. Или, например, средняя кривизна псевдосферы $H=\displaystyle\frac{1}{a}\frac{\sin^2u-\cos^2u}{\sin u\cos u}$ стремится к минус бесконечности при $u\to\pi/2+0$ (стремится справа). Значит ли всё это, что значение $u=\pi/2$ нужно убрать из рассмотрения? У меня просто такие особые случаи вызывают затруднения.

[svv]

Как у авторов получились такие выражения, непонятно (тем более, ошибка уже в первой квадратичной форме, которая совсем просто считается).
Во второй квадратичной форме знак у Вас правильный с учётом $u\in[\pi/2;\pi)$. Направление нормали, согласованное с $\mathbf r_u\times\mathbf r_v$ — внутрь псевдосферы.

misha.physics в сообщении #1526551 писал(а):

А есть ли смысл рассматривать значение $u=\pi/2$, отвечающее точкам псевдосферы принадлежащим плоскости $xOy$ (там, где "подножие" псевдосферы)?

Пусть $P$ — точка, соответствующая $u=\pi/2$. Касательная плоскость в точке $P$ существует, она совпадает с $xOy$. Но как угодно близко от $P$ существуют точки $Q_1,Q_2$, проектирующиеся в одну точку касательной плоскости. Поэтому поверхность в $P$ не является гладкой. А вся теория главы 2 строится для гладких поверхностей.

[misha.physics]

Спасибо, первую часть понял.

svv в сообщении #1526644 писал(а):

Но как угодно близко от $P$ существуют точки $Q_1,Q_2$, проектирующиеся в одну точку касательной плоскости.

А, точно. То есть, точки $Q_1$ и $Q_2$ лежат на псевдосфере по разные стороны от плоскости $xOy$. То есть, одна из этих точек не может быть получена из $u\in[\pi/2;\pi)$. То есть, то, что мы рассматриваем только $u\in[\pi/2;\pi)$ не устраняет того факта, что в точках псевдосферы с $u=\pi/2$ она не является гладкой. Это как если мы не будем смотреть на ту стену комнаты, где есть дыра, то дыра от этого не исчезнет, и, соответственно, стена гладкой не будет.

[svv]

misha.physics в сообщении #1526679 писал(а):

То есть, то, что мы рассматриваем только $u\in[\pi/2;\pi)$ не устраняет того факта, что в точках псевдосферы с $u=\pi/2$ она не является гладкой

Простите, я об этом ограничении забыл. Всё время имел в виду "полную" псевдосферу.

Есть ещё неприятности. Точка $P$ в "подножии" принадлежит краю верхней половины псевдосферы. В этой точке не существует производная $\mathbf r_u$, существует только односторонняя (правая) частная производная по $u$. Хорошо, обойдёмся односторонней. Но и она в точке $P$ равна нулевому вектору, так здесь $u=\frac{\pi}{2}$, а все три компоненты $\mathbf r_u$ содержат $\cos u$. Из-за этого нарушается условие $\mathbf r_u\times\mathbf r_v\neq \mathbf 0$, которое всюду требуется в главе 2.

[misha.physics]

svv в сообщении #1526686 писал(а):

Но и она в точке $P$ равна нулевому вектору, так здесь $u=\frac{\pi}{2}$, а все три компоненты $\mathbf r_u$ содержат $\cos u$.

Точно, проверил, получилось. Значит таки при $u=\pi/2$ псевдосфера не является гладкой. Понял, спасибо!