Non-cloning theorem и бра-кет формализм

[Inquirer]

Добрый день!
Прошу разъяснить мне некоторые моменты, связанные с доказательством теоремы о запрете клонирования произвольного чистого состояния. Суть в следующем:
Пусть существует универсальная клонирующая машина, действующая по правилу $\left\lvert\psi\right\rangle\left\lvert\theta\right\rangle\to\left\lvert\psi\right\rangle\left\lvert\psi\right\rangle$ , где $\left\lvert\psi\right\rangle$ - клонируемый вектор, а $\left\lvert\theta\right\rangle$ - "исходный" вектор машины.
Положим, что $\left\lvert\psi\right\rangle=C_1\left\lvert\varphi_1\right\rangle+C_2\left\lvert\varphi_2\right\rangle$.
Тогда утверждается следующее:

${\left\lvert\psi\right\rangle\left\lvert\theta\right\rangle\to\left\lvert\psi\right\rangle\left\lvert\psi\right\rangle=\left(C_1\left\lvert\varphi_1\right\rangle+C_2\left\lvert\varphi_2\right\rangle\right)\left({C_1\left\lvert\varphi_1\right\rangle+C_2\left\lvert\varphi_2\right\rangle}\right)=}$

$={C_1}^2\left\lvert\varphi_1\right\rangle\left\lvert\varphi_1\right\rangle+{C_2}^2\left\lvert\varphi_2\right\rangle\left\lvert\varphi_2\right\rangle+C_1C_2\left(\left\lvert\varphi_1\right\rangle\left\lvert\varphi_2\right\rangle+\left\lvert\varphi_2\right\rangle\left\lvert\varphi_1\right\rangle\right)$

Соответственно, вопрос первый. Записывая $\left\lvert\psi\right\rangle\left\lvert\theta\right\rangle\to\left\lvert\psi\right\rangle\left\lvert\psi\right\rangle$, мы утверждаем, что машина переводит набор из векторов $\left\lvert\psi\right\rangle$ и $\left\lvert\theta\right\rangle$ в набор из двух идентичных векторов $\left\lvert\psi\right\rangle$. Разве здесь подразумевается какое-либо произведение векторов? Судя по всему, я не понимаю физического смысла записи "произведения" векторов состояний. Что под такой записью подразумевается?
Далее в доказательстве рассматривается действие машины на суперпозицию состояний: $\left\lvert\psi\right\rangle\left\lvert\theta\right\rangle=C_1\left\lvert\varphi_1\right\rangle\left\lvert\theta\right\rangle+C_2\left\lvert\varphi_2\right\rangle\left\lvert\theta\right\rangle\to C_1\left\lvert\varphi_1\right\rangle\left\lvert\varphi_1\right\rangle+C_2\left\lvert\varphi_2\right\rangle\left\lvert\varphi_2\right\rangle$
Очевидно, выражения для результата действия машины совпадают лишь в случае $C_1=C_2=0$, что противоречит нормировке векторов состояния на единицу. Таким образом, работа машины не согласуется с постулатами КМ.
Тут возникает и второй вопрос:
1) В операции клонирования участвуют два вектора - клонируемый и "материал". Почему мы тогда применяем принцип суперпозиции и "засовываем" в машину не один клонируемый вектор, а сумму векторов и ждём линейности? Ведь действие машины на линейную комбинацию векторов никак не определялось!
2) Опять-же, каков физический смысл у записи $C_1\left\lvert\varphi_1\right\rangle\left\lvert\varphi_1\right\rangle+C_2\left\lvert\varphi_2\right\rangle\left\lvert\varphi_2\right\rangle$? Если вектору состояния сопоставить, к примеру, атом в каком-то состоянии, то что означает последняя запись?
Наконец, в оригинальной статье (A single quantum cannot be cloned, 1982, Nature) состояние системы с двумя фотонами (клонированный и исходный) описывается единым вектором состояния, так что там вопроса с линейностью нет. Однако вопрос с произведением состояний всё равно остаётся, так как там оно фигурирует.

P.S. Приношу извинения за опечатку в теме, но не знаю, как поправить.

[physicsworks]

А какую литературу вы читаете? И зачем? No-cloning theorem это простое следствие линейности квантовой эволюции, доказывается в три строки, если понимать о чем речь идет.

Inquirer в сообщении #1526408 писал(а):

Судя по всему, я не понимаю физического смысла записи "произведения" векторов состояний. Что под такой записью подразумевается?

это так называемые tensor product states, которые живут в tensor product Hilbert space $H_{AB} = H_A \otimes H_B$ двух систем $A$ и $B$. Они составляют базис составной системы $A+B$ (composite system) в гильбертовом пространстве $H_{AB}$. Часто при написании произведения значок $\otimes$ опускают.

На уровне выпускника школы/первого курса технического вуза можно почитать Засскинда (Quantum mechanics. The theoretical minimum). Там самой теоремы вроде бы нет, но она вас подготовит по квантовой механике так, что можно будет хотя бы понимать о чем речь идет и понимать доказательства вроде таких. Ну, а так можно и с википедии начать.

[Inquirer]

Благодарю за пояснения. Если это тензорное произведение, то доказательство становится понятным. Однако с благодарностью приму ссылку на хорошую литературу, где этот момент обсуждается.

physicsworks в сообщении #1526420 писал(а):

А какую литературу вы читаете? И зачем?

Смотрю в сети курс лекций по матрице плотности, пока лето. Зачем? Я с фундаментального, но материаловедческого факультета, поэтому некоторые физические дисциплины, в т.ч. КМ, у нас сильно урезаны. КМ читалась у нас в терминах волновых функций, а бра-кет формализм фигурировал лишь в семинарах, которые в основном шли "на подхвате" к лекциям. Естественно, мне хотелось и хочется чего-то более фундаментального и красивого, чем спектры энергии, и наш семинарист порекомендовал мне курс физфаковских лекций по матрице плотности. Тем паче, что лектор собирается осветить именно интересующие меня вопросы.
Отсюда и незнание очевидных вещей о данном формализме.
Так что, повторюсь, буду благодарен, если порекомендуете литературу.

[physicsworks]

В принципе, на лето, можно почитать и Дирака, если уже хочется фундаментального. А так, если Засскинд покажется слишком простым (но его бы я тоже прочитал [а также посмотрел видео лекции], он поможет освоить на элементарном уровне бра-кет нотацию и начать мыслить о КМ в терминах состояний в гильбертовом пространстве, а не волновых функций), то следующие две хорошие книги для начинающих это Townsend и Griffiths. Выше уровнем Киселев и Сакураи. Сжато, сухо, но очень педагогично и последовательно изложение основ КМ в третьей части Медведева, который по сути мини-версия книги Дирака.

-- 17.07.2021, 11:23 --

Есть ещё новая книга Вайнберга, но там идиосинкратический подход к нотации. А так хорошая книга, уровня где-то между Townsend и Сакураи, ближе к Сакураи. Вобщем вам скорее подойдут Townsend и Griffiths. У обоих, что немаловажно, много задач, которые нужно прорешать. Это что касается чисто физики, ну а есть ещё quantum computation, но это уже другая история и другая литература.

[Inquirer]

Большое спасибо за совет!