2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Измеримые функции
Сообщение15.07.2021, 11:13 
Аватара пользователя


24/10/14
81
Всех приветствую. Вопрос по нахождению измеримых функций относительно сигма-алгебры.

Бросается кубик.
$\Omega = \left\lbrace1, 2, 3, 4, 5, 6\right\rbrace$, $\mathcal{F} = \left\lbrace\Omega, \varnothing, \left\lbrace 1, 3, 5\right\rbrace, \left\lbrace 2, 4, 6\right\rbrace\right\rbrace$.

Нужно описать все функции измеримые относительно сигма алгебры $\mathcal{F}$.

Текущие наработки. Функции вида ($c_1$, $c_2$ - const):
$$\xi(w) = \begin{cases}
c_1,&\text{если $w \in \left\lbrace1,3,5\right\rbrace$;}\\
c_2,&\text{если $w \in \left\lbrace2,4,6\right\rbrace$;}
\end{cases}$$

являются измеримыми относительно $\mathcal{F}$, потому что для любого борелевского множества в $\mathbb{R}$ полный прообраз будет принадлежать сигма-алгебре. Другими словами, какой бы интервал мы не взяли (или отрезок, или точку, или другое борелевское множество), то возможно исходы:

1) $c_1 \in \mathcal{B}$, $c_2 \in \mathcal{B}$ $\Rightarrow$ $\xi^{-1}(w) = \Omega \in \mathcal{F} $
2) $c_1 \in \mathcal{B}$, $c_2 \notin \mathcal{B}$ $\Rightarrow$ $\xi^{-1}(w) = \left\lbrace 1, 3, 5\right\rbrace \in \mathcal{F} $
3) $c_1 \notin \mathcal{B}$, $c_2 \in \mathcal{B}$ $\Rightarrow$ $\xi^{-1}(w) = \left\lbrace 2, 4, 6\right\rbrace \in \mathcal{F} $
4) $c_1 \notin \mathcal{B}$, $c_2 \notin \mathcal{B}$ $\Rightarrow$ $\xi^{-1}(w) = \varnothing \in \mathcal{F} $

Интуитивно кажется, что других функций быть не может (неконстантных), но строгого доказательства вывести не получается. Прошу направить. Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые функции
Сообщение15.07.2021, 11:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Пусть наша сигма-алгебра такова, что некоторые два элемента $x$ и $y$ входят в одни и те же измеримые множества. Пусть $f(x) \neq f(y)$. Тогда $f$ неизмерима. Для доказательства найдите такое борелевское множество, что $x$ входит в его прообраз, а $y$ нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые функции
Сообщение16.07.2021, 10:40 
Аватара пользователя


24/10/14
81
mihaild

Рассмотрим одноточечное боролевское множество. Пусть $f(x) = v_1$, а $f(y) = v_2$, при этом $v_1 \ne v_2$. $\mathcal{B} = \left\lbrace v_1\right\rbrace$. Тогда $x \in f^{-1}(\mathcal{B})$, а $y \notin f^{-1}(\mathcal{B})$. Но $x$, $y$ входят в одни и те же измеримые множества, поэтому $v_1 = v_2$.

Элементы $\left\lbrace 1 ,3, 5 \right\rbrace$ входят в одни и те же измеримые множества. Поэтому значения функции для них должны совпадать. Так же и для элементов $\left\lbrace 2, 4, 6 \right\rbrace$ значения функции должны совпадать. Получаем, что кроме описанной в первом сообщении функции, других вариантов нет.

Кажется, так.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group