Измеримые функции

[Jiggy]

Всех приветствую. Вопрос по нахождению измеримых функций относительно сигма-алгебры.

Бросается кубик.
$\Omega = \left\lbrace1, 2, 3, 4, 5, 6\right\rbrace$, $\mathcal{F} = \left\lbrace\Omega, \varnothing, \left\lbrace 1, 3, 5\right\rbrace, \left\lbrace 2, 4, 6\right\rbrace\right\rbrace$.

Нужно описать все функции измеримые относительно сигма алгебры $\mathcal{F}$.

Текущие наработки. Функции вида ($c_1$, $c_2$ - const):

$$\xi(w) = \begin{cases} c_1,&\text{если $w \in \left\lbrace1,3,5\right\rbrace$;}\\ c_2,&\text{если $w \in \left\lbrace2,4,6\right\rbrace$;} \end{cases}$$

являются измеримыми относительно $\mathcal{F}$, потому что для любого борелевского множества в $\mathbb{R}$ полный прообраз будет принадлежать сигма-алгебре. Другими словами, какой бы интервал мы не взяли (или отрезок, или точку, или другое борелевское множество), то возможно исходы:

1) $c_1 \in \mathcal{B}$, $c_2 \in \mathcal{B}$ $\Rightarrow$ $\xi^{-1}(w) = \Omega \in \mathcal{F} $
2) $c_1 \in \mathcal{B}$, $c_2 \notin \mathcal{B}$ $\Rightarrow$ $\xi^{-1}(w) = \left\lbrace 1, 3, 5\right\rbrace \in \mathcal{F} $
3) $c_1 \notin \mathcal{B}$, $c_2 \in \mathcal{B}$ $\Rightarrow$ $\xi^{-1}(w) = \left\lbrace 2, 4, 6\right\rbrace \in \mathcal{F} $
4) $c_1 \notin \mathcal{B}$, $c_2 \notin \mathcal{B}$ $\Rightarrow$ $\xi^{-1}(w) = \varnothing \in \mathcal{F} $

Интуитивно кажется, что других функций быть не может (неконстантных), но строгого доказательства вывести не получается. Прошу направить. Заранее спасибо.

[mihaild]

Пусть наша сигма-алгебра такова, что некоторые два элемента $x$ и $y$ входят в одни и те же измеримые множества. Пусть $f(x) \neq f(y)$. Тогда $f$ неизмерима. Для доказательства найдите такое борелевское множество, что $x$ входит в его прообраз, а $y$ нет.

[Jiggy]

mihaild

Рассмотрим одноточечное боролевское множество. Пусть $f(x) = v_1$, а $f(y) = v_2$, при этом $v_1 \ne v_2$. $\mathcal{B} = \left\lbrace v_1\right\rbrace$. Тогда $x \in f^{-1}(\mathcal{B})$, а $y \notin f^{-1}(\mathcal{B})$. Но $x$, $y$ входят в одни и те же измеримые множества, поэтому $v_1 = v_2$.

Элементы $\left\lbrace 1 ,3, 5 \right\rbrace$ входят в одни и те же измеримые множества. Поэтому значения функции для них должны совпадать. Так же и для элементов $\left\lbrace 2, 4, 6 \right\rbrace$ значения функции должны совпадать. Получаем, что кроме описанной в первом сообщении функции, других вариантов нет.

Кажется, так.