Порождающий элемент группы

[EminentVictorians]

Винберг, стр.171 писал(а):

Предложение 3. Элемент $g^k$ циклической группы $G = \left\langle g \right\rangle$ поряд­ка $n$ является порождающим тогда и только тогда, когда $(n, k) = 1$

То, что если $g^k$ порождающий, то $(n, k) = 1$ я доказал. А в обратную сторону не могу. Начал вот с этого: порядок элемента $g^k$ равен $\frac{n}{(n, k)} = n$. Дальше надо показать, что $g^k$ порождающий для $G = \left\langle g \right\rangle$, но как - не знаю.

[mihaild]

А сколько элементов содержит группа $\langle g^k \rangle$?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1526260 писал(а):

А сколько элементов содержит группа $\langle g^k \rangle$?

В группе $G$ будет $n$ элементов. Группа $\langle g^k \rangle$ состоит из элементов $... , g^{-2k}, g^{-k} , e , g^k, g^{2k}, ... $. Это все элементы группы $G$, поэтому $\langle g^k \rangle$ будет содержать явно не больше $n$. Сколько конкретно элементов она содержит - я не знаю. Только такую оценку могу сделать.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1526259 писал(а):

порядок элемента $g^k$ равен $\frac{n}{(n, k)} = n$.

А что такое порядок элемента?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1526266 писал(а):

А что такое порядок элемента?

Порядок элемента $x \in G$ - это наименьшее натуральное число $n$ такое, что $x^n = e$. (0 не включается в натуральные)

[mihaild]

Пусть группа $\langle h\rangle$ содержит меньше $n$ элементов. Тогда $h^a = h^b$ для каких-то $a, b$ таких что $0 \leq a < b < n$. Что тогда можно сказать про порядок $h$?

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1526268 писал(а):

Пусть группа $\langle h\rangle$ содержит меньше $n$ элементов. Тогда $h^a = h^b$ для каких-то $a, b$ таких что $0 \leq a < b < n$. Что тогда можно сказать про порядок $h$?

$h$ - порождающий элемент конечной группы $\langle h\rangle$. Его порядок равен числу элементов в группе $\langle h\rangle$, т.е. он будет меньше $n$.

-- 16.07.2021, 00:21 --

Кажется, скомпилировалось. Рассмотрим $\langle g^k \rangle$. Она будет подгруппой группы $G$. Она содержит $n$ элементов, а значит, она будет совпадать с $G$, чтд.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1526269 писал(а):

Его порядок равен числу элементов в группе $\langle h\rangle$

Вот это - что число элементов в порожденной группе равно порядку порождающего элемента - и надо доказать (хотя доказывается это конечно тривиально).

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1526271 писал(а):

Вот это - что число элементов в порожденной группе равно порядку порождающего элемента - и надо доказать

Это у меня уже даже доказано было. Сам удивляюсь, как не заметил доказательство сразу. Вам спасибо!