Линейный оператор, сохраняющий многочлен

[EminentVictorians]

Разбираю один текст у Винберга и не могу понять определения.

Винберг, стр. 159 писал(а):

Пример 9.Аналогично, невырожденные линейные преобразования пространства $K^n$, сохраняющие какой-либо заданный многочлен от $n$ переменных, образуют подгруппу группы $GL_n(K)$.

Я понимаю это место так:

Пусть $V(K)$ - $n$-мерное векторное пространство над полем $K$.

1. Фиксируем базис $E = (\vec{e_1}, ... ,\vec{e_n})$ этого пространства.
2. Возьмем произвольный многочлен $f \in K[x_1, ... ,x_n]$. Он породит функцию $f_*: V \to K$, которая берет координаты вектора в базисе $E$, подставляет их вместо соответствующих переменных в многочлен $f$ и выдает результат - элемент поля $K$.
3. Будем говорить, что линейный оператор $\varphi \in \mathcal{L}(V)$ сохраняет многочлен $f$ если $\forall \vec{v} \in V$ $f_*(\vec{v}) = f_*(\varphi(\vec{v}))$.

Правильно ли я понимаю, что на этом этапе никаких ограничений на линейный оператор $\varphi$ нету, т.е. он может быть вырожденным? Просто в качестве примера, вроде бы, никто не мешает взять какое-нибудь $n$-мерное ВП и нулевой многочлен. Тогда любое линейное преобразование будет сохранять этот многочлен. Можно взять тогда тождественно нулевое преобразование, оно будет вырожденным и все в порядке. Интересно, а существуют ли вырожденные (но не тождественно нулевые) линейные преобразования, сохраняющие ненулевой многочлен?

[мат-ламер]

EminentVictorians в сообщении #1525248 писал(а):

Фиксируем базис

А зачем фиксировать базис? В пространстве $K^n$ есть свой стандартный базис, который и имеется в виду в определении.

EminentVictorians в сообщении #1525248 писал(а):

Возьмем произвольный многочлен

Почему произвольный? Берём очень конкретный многочлен, который нас интересует. Если возьмём другой многочлен, то получим другую группу.

EminentVictorians в сообщении #1525248 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что на этом этапе никаких ограничений на линейный оператор $\varphi$ нету, т.е. он может быть вырожденным?

Вашу мысль не понял. Если в определении написано про невырожденность преобразований, то почему мы должны допускать вырожденные? Если мы их добавим, то группу мы не получим, ибо у вырожденных преобразований не существует обратного.

EminentVictorians в сообщении #1525248 писал(а):

Интересно, а существуют ли вырожденные (но не тождественно нулевые) линейные преобразования, сохраняющие ненулевой многочлен?

Да, существуют. Подумайте. какие преобразования в $R^2$ сохраняют $x_1$ .

[EminentVictorians]

мат-ламер
Я извиняюсь, забыл упомянуть ряд важных деталей. Дело в том, что Винберг на этом этапе определяет линейные преобразования только для $K^n$, причем как отображение, ставящее столбцу $X$ в соответствие столбец $Y = AX$ (в матричной записи). $A$ называется матрицей этого линейного оператора. Мне это не очень нравится, поэтому я сразу определяю линейное преобразование как преобразование некого векторного пространства $V$, которое линейно. Случай с $K^n$ получается как частный: преобразование понятно дело линейно, а матрица $A$ является его матрицей в базисе единичных векторов $(1, ... , 0)$, ... $(0, ... , 1)$. Таким образом, все, что обобщается - лучше обобщить сразу. И еще я подумал, что наверное лучше брать не произвольный многочлен, а произвольную функцию $V \to K$ и говорить, что линейный оператор сохраняет именно функцию, а не многочлен.

мат-ламер в сообщении #1525444 писал(а):

Вашу мысль не понял. Если в определении написано про невырожденность преобразований, то почему мы должны допускать вырожденные? Если мы их добавим, то группу мы не получим, ибо у вырожденных преобразований не существует обратного.

Я просто в своих рассуждениях еще не дошел до группы. Пока есть просто произвольная функция $V \to K$, которую сохраняет линейное преобразование $\varphi$. Просто хочу удостовериться, что $\varphi$ может быть вырожденным. Вдруг я захочу рассмотреть, например, вообще все линейные преобразования, сохраняющие некоторую функцию, как допустим полугруппу.

А дальше, как я понимаю, можно утверждать, что невырожденные линейные преобразования, сохраняющие вообще какую угодно функцию $V \to K$, образуют подгруппу главной линейной группы пространства $V$.

И еще меня смущает определение ортогональной группы.

Винберг писал(а):

Невы­рожденные линейные преобразования пространства $\mathbb{R}^n$, сохраня­ющие многочлен $x_1^2 + ... + x_n^2$, называются ортогональными преобразованиями; они образуют подгруппу группы $GL_n(\mathbb{R})$, кото­рая называется ортогональной группой и обозначается через $O_n$.

1. Зачем ограничиваться $\mathbb{R}$? Если взять произвольное поле $K$, то ничего не поменяется же.
2. В википедии говорится не про этот многочлен, а вообще про любую невырожденную квадратичную форму. Кому верить?

[Padawan]

EminentVictorians в сообщении #1525451 писал(а):

Кому верить?

Винбергу, конечно!

EminentVictorians в сообщении #1525451 писал(а):

а вообще про любую невырожденную квадратичную форму

Может быть положительно определённую?

[EminentVictorians]

Padawan в сообщении #1525453 писал(а):

Может быть положительно определённую?

В википедии просто невырожденная.

-- 06.07.2021, 12:41 --

Padawan в сообщении #1525453 писал(а):

Винбергу, конечно!

В википедии определение более общее. Вдруг это просто локальный нюанс именно в этом месте учебника. К тому же у Винберга квадратичные формы идут дальше. Я подозреваю, что тут ситуация как с линейными операторами. Общее определение будет потом, а пока в главе про группы дается урезанное.

[Padawan]

EminentVictorians в сообщении #1525456 писал(а):

В википедии просто невырожденная.

Над $\mathbb R$ если брать произвольную невырожденную квадратичную форму, то это принято называть псевдоортогональной группой.