Распределение расстояния между двумя точками в круге

[Gyros]

Читаю книгу Кендалла, Морана "Геометрические вероятности".
На стр. 47 находится, что среднее расстояние между двумя точками, каждая из к-рых распределена равномерно внутри круга радиуса $R$, равна
$M(R)=\frac{128}{45}R$, а это равно $2.84R$
Что же получается , что среднее расстояние между двумя точками в круге БОЛЬШЕ (!) диаметра круга ?

[gris]

Точный ответ без пи?

[wrest]

gris в сообщении #1525450 писал(а):

Что же получается

Да, как верно заметил выше ув. gris, надо урезать осетра в $\pi$ раз.

[Gyros]

В книге без $\pi$. Возможно действительно опечатка. Там дифф ур-ние решается, надо бы проверить выкладки.

[gris]

Посмотрите в книге обозначения. Может быть автор имеет в виду некоторое нормализованное расстояние? Или ещё что. Меня просто насторожило отсутствие в точной формуле $\pi$. Я не предполагал на него (неё?) делить. Но чисто интуитивно ответ должен быть близок к радиусу. Можно и поделить. Вообще на форуме я нашёл близкую тему, но там не увидел ответа.
https://dxdy.ru/topic31914.html

[Aritaborian]

Как раз вчера читал статью на эту тему в блоге John D. Cook. Там упоминается $\frac{128}{45 \pi}$ (для $R = 1$).
(Кстати, блог горячо рекомендую, много интересного.)

[Gyros]

Действительно опечатка. Проделал выкладки аккуратно и видно, что забыли напечатать $\pi$ в знаменателе. Правильный ответ
$M(R)=\frac{128}{45\pi}R\approx0.9R$
Спасибо!

[Евгений Машеров]

Пи уже в оригинале пропало. То есть наш переводчик обелён. А редактор нет.

[Gyros]

Есть еще вопросы по этой задаче (Найти ожидаемое расстояние между двумя точками, взятыми внутри круга).
Непонятный момент как вычисляется площадь элементарной дуги:

Цитата с той же страницы 47:
Пусть A -точка на границе круга, и AOB есть диаметр. Точки , удаленные на расстояние x от A, занимают внутри элементарной дуги элемент площади, равный
$(2x\arccos\frac{x}{2R})dx$, и поэтому среднее удаление от A задается
$\frac{1}{\pi R^2}\int\limits_{0}^{2R}2x^2\arccos\frac{x}{2R}dx=...$

Вопрос 0: Где загадочные точки P и Q (см. ту же стр. 47) среднее расстояние между которыми надо найти? Или они стали X и Y?

Вопрос 1: Почему среднее удаление вычисляется как отношение площадей? (ведь выражение делится на $\pi R^2$ - а это площадь всего круга).

Вопрос 2: Разве площадь элементарной дуги не равна (длина дуги)$\cdot dx=2\theta \cdot dx=2\cdot\arccos\frac{x}{2R}\cdot dx$
(где $\theta=\arccos\frac{x}{2R}$).
Откуда там умножается еще на x?

(Оффтоп)