Вопрос о смежных классах

[ErVynShred]

Здравствуйте, у меня есть короткий вопрос по поводу смежных классов, правильно ли я понимаю, что смежный класс $aH$ фиксированного элемента $a \in M$ из некоторой, например, группы $M$ - пусть абелева, по подгруппе $H$ это тоже самое, что и класс эквивалентности элемента $a$? Т.е. корректно ли, что $aH = \left\lbrace ah \colon h \in H \right\rbrace$, $ah_{i} = b_{i}$ это то же самое, что и $\left\lfloor a \right\rfloor = \left\lbrace b_{i} \in M, h_{i} \in H \colon {b_{i}}{{h_{i}}^{-1}} = a \right\rbrace$ ведь при фиксированном $a$, $h$ пробегает всю $H$ и так для каждого $a_{i} \in M$. Корректна ли такая запись? Аналогично и для случая $a + G$, где $G \subset K$ - подгруппа некоторой группы $K$.

[mihaild]

ErVynShred в сообщении #1525090 писал(а):

корректно ли, что $aH = \left\lbrace ah \colon h \in H \right\rbrace$, $ah_{i} = b_{i}$ это то же самое, что и $\left\lfloor a \right\rfloor = \left\lbrace b_{i} \in M, h_{i} \in H \colon {b_{i}}{{h_{i}}^{-1}} = a \right\rbrace$

Нет конечно, первое определяет $aH$, второе $\lfloor a \rfloor$. Возможно, вы хотели спросить, верно ли что $aH = \left\lfloor a \right\rfloor$? Чтобы это проверить, перепишите $b_i h_i^{-1} = a$ как $b = a h_i$.

[Slav-27]

По сути правильно, а написать можно было и аккуратнее: $aH=\{ah:h\in H\}$, $\lfloor a\rfloor=\{(b,h)\in M\times H:bh^{-1}=a\}$. Они не равны, но между ними есть естественная биекция.

[ErVynShred]

И эта биекция появляется, тогда, когда мы определяем отношение эквивалентности $T$, $a \sim b \equiv aTb \Leftrightarrow ba^{-1} = h \in H$, где $H \subset M$, тогда элементу $a \in M$ ставится в соответствие множество вида $aH = \left\lbrace ah_{i} = b_{i} \colon h_{i} \in H\right\rbrace$?
Пусть, например, у меня есть группа $U$, состоящая из множества чисел $U = \left\lbrace -k,..., -4, -1, 0, 1,..., 4,..., k \in \mathbb{R} \right\rbrace$ определим групповую операцию, как: $a_{i} + a_{j} = C_{k}$, очевидно, она абелева, выделим подгруппу $O = \left\lbrace a_{i} \in \mathbb{R} \colon a \in \left\lfloor -k+1,..., k-1 \right\rfloor \right\rbrace$, тогда класс эквивалентности элемента $a = 5$ - это $\left\lfloor a \right\rfloor = \left\lbrace 5-k+1,..., 5-3,..., 5+3,..., 5+k-1 \right\rbrace$?

[ErVynShred]

Я смотрел в учебнике, автора уже не помню, и там было написано что-то вроде этого: $a + H = \left\lfloor a \right\rfloor$, если $a + h_{i} = b_{i}$ - групповая операция, то $a + H = \left\lfloor a \right\rfloor = $\left\lbrace b_{i} \in a + H \colon b_{i} \sim a \Leftrightarrow b_{i} - a = h_{i} \in H \equiv b_{i} = a + h_{i}, h_{i} \in H \right\rbrace$. Конечно, там была не прям такая запись, её я сам дополнил, но что там точно было, так это: $a + H = \left\lfloor a \right\rfloor$.
Собственно из этого $b_{i} \sim a \Leftrightarrow b_{i} - a = h_{i} \in H$, если записать $b_{i}$ как $b_{i} = a + h_{i}$, следует, что: $a \sim a + h_{i} \Rightarrow a + H = \left\lfloor a \right\rfloor$. Поправьте, если неправильно.

[Slav-27]

ErVynShred в сообщении #1525202 писал(а):

$a + H = \left\lfloor a \right\rfloor = \left\lbrace b_{i} \in a + H \colon b_{i} \sim a \Leftrightarrow b_{i} - a = h_{i} \in H \equiv b_{i} = a + h_{i}, h_{i} \in H \right\rbrace$.

По-моему, живые люди неспособны к восприятию таких длинных последовательностей математических символов, по крайней мере я не могу. Непонятно, про что вы пишете и чего хотите. (Не отвечал я не поэтому, а потому что был занят, теперь в принципе могу с вами поговорить.)

-- 11.07.2021, 20:56 --

Я интерпретировал ваше определение $\lfloor a\rfloor$ так, как я написал выше, и в таком случае оно не равно $aH$. Но, может быть, вы или ваш первоисточник имели в виду что-то другое, а я перепутал.

[ErVynShred]

Да, длинной она вышла, не самая удачная запись; в общем, ведь если у нас отношение эквивалентности(по сути, сравнение по модулю, по подгруппе) , определённое выше, то по можно рассмотреть фактор группу по подгруппе, элементами смежного класса одного элемента исходной группы, будут являться элементы, сравнимые с исходным по модулю подгруппы, заменяя в записи отношения эквивалентности элемент смежного класса $b_i$, получаем: $a \sim b_i \Longleftrightarrow b_i - a = h_i$, что эквивалентно $a \sim a + h_i \Longleftrightarrow a + h_i - a = h_i \in H$, где $H$ - нормальна. Я так пробовал рассуждать

[Slav-27]

ErVynShred в сообщении #1526450 писал(а):

если у нас отношение эквивалентности(по сути, сравнение по модулю, по подгруппе) , определённое выше, то по можно рассмотреть фактор группу по подгруппе, элементами смежного класса одного элемента исходной группы, будут являться элементы, сравнимые с исходным по модулю подгруппы

Да.