Задачник по ковидной теории вероятностей

[EUgeneUS]

(не знаю какой раздел более подходящий)

Вроде про ковид, то есть БиМ,
но и про тервер, то есть в математические разделы,
но тервер тут банальный, за то в подражание задачникам Остера, может в юмор?
Путь пока тут будет, а ели модераторы решат, что другой раздел более подходящий - так тому и быть

Ковидная теория вероятностей. Задачник

Задача 1.
Вася Пупкин утверждает, что никто из его знакомых не болел ковидом.
С какой вероятностью Вася – врун, болтун и хохотун?
Учесть, что
А) население России $145 000 000$ человек
Б) количество знакомых у Васи $300$ человек
В) переболело ковидом в России $5 300 000$ человек (это по официальной статистике, сделаем вид, что она правильная. На самом деле – больше)

(ответ)

Ответ: с вероятностью $0.999986$ ($99.9986$%) Вася - врун, болтун и хохотун.

(Решение)

Решение:
1. Вероятность, что какой-нибудь один знакомый Васи не переболел ковидом:
$P_1 = (1 - 5 300 000 / 145 000 000) = 1 - 0.0366 = 0.9634$ ($96.34$%)
2. Вероятность, что никто из Васиных знакомых не переболел ковидом:
$P_2 = P_1^{300} = 0.000014$ ($0.0014$%)
3. Вероятность, что Вася врун, болтун и хохотун:
$P_3 = 1 - P_2 = 0.999986$ ($99,9986$ %)
Четыре девятки! Вася - рафинированный врун, болтун и хохотун.

Задача 2.
Лена Метронова-Слободская утверждает, что среди её знакомых никто не умер от ковида.
Можно ли верить Лене?
Учесть, что
А) население России $145 000 000$ человек
Б) количество знакомых у Лены такое же как у Васи - $300$ человек
В) за время эпидемии в России сверхсмертность составила $500 000$ человек (считаем, что все из них померли от ковида).

(Ответ и решение)

Ответ: Лене можно верить, в отличие от Васи.

Решение:
Аналогичным образом, как в задаче 1, получаем, что вероятность, что никто из знакомых Лены не умер от ковида – $0.645$ ($64.5$%).
Да, так бывает.

Задача 3.
Вася Пупкин где-то услышал, что от прививки бывает страшная писецома с закупорками сосудов, от которой умирают. И поэтому решил не прививаться.
Что можно сказать о когнитивных способностях Васи?

Учесть, что:
А) Британские ученые установили, что эпидемия закончится, когда переболеют или будут привиты $60$% населения. И в этом случае мы доверяем британским ученым.
Б) Сейчас в России привиты или переболели («с антителами») $30$% населения.
В) Российская чудо-вакцина имеет эффективность $90$%
Г) Как часто от неё возникает писецома – не опубликовано. Однако, у похожей импортной вакцины писецома возникает с частотой 5 случаев на миллион. (берем эту частоту, на самом деле, СпутникV скорее всего получше будет)
Д) Вероятность летального исхода, если случился ковид – $0.5$ % ($0.005$)
Е) Вероятность летального исхода, если случилась писецома – $50$ % ($0.5$)

(Ответ)

Ответ: Когнитивные способности Васи не позволяют осилить теорию вероятностей в рамках школьной программы.

(Решение)

Решение:

Если Вася не привьётся (как он и собрался):
1. Среди $70$% населения «без антител» до окончания пандемии заболеют или будут привиты $30$% (от населения).
2. Так как Вася прививаться отказывается, то он заболеет с вероятностью:
$P_1 = 30 / 70 = 0.429$ ($42.9$%)
3. А умрет Вася от ковида с вероятностью:
$P_2 = P_1 \cdot 0.005 = 0.00214$ ($0.214$%)
Или: шансы умереть у Васи один к $467$.

Если бы Вася привился
1. Прививка снижает риск заболеть в $10$ раз (если считать, что эффективность вакцины против смерти от ковида, такая же как против заболевания. На самом деле, чем тяжелее случаи рассматриваем, тем эффективность выше). Тогда
2. С вероятностью $P_3 = P_1/10 = 0.0429$ ($4.2$%) Вася всё равно заболеет.
3. А с вероятностью $P_4 = P_3 \cdot 0.005 = 0.000214$ ($0.0214$%) Вася всё равно умрет от ковида, даже привитым.
4. Кроме того, у Васи есть риск умереть от писецомы. Писецома у Васи возникнет с вероятностью $P_5 = 5 / 1 000 000 = 0.000005$ ($0.0005$%).
5. И умрет Вася от писецомы с вероятностью $P_6 = P_5 \cdot 0.5 = 0.0000025$ ($0.00025$%).
6. Итого, в этом случае вероятность умереть (от писецомы из-за прививки или от ковида) у Васи равна:
$P_7 = P_4 + P_7$ (формула не очень точная, но в данном случае применима, из-за малости вероятностей).
Или:$ P_7 = 0.000214 + 0.0000025 = 0.0002165$ ($0.02165$%)
Или: шансы умереть от писецомы после прививки или ковида один к $4619$.
Как видим,
А) шансы у привитых в десять раз лучше (на самом деле, даже больше – так как прививка защищает от смерти лучше, чем от заболевания)
Б) Риск умереть от писецомы очень слабо влияет на риск умереть – основной риск умереть остается от ковида, даже при такой высокой эффективности прививки.

Задача 4.

Вася живет с пожилой и больной бабушкой и отказывается прививаться и прививать бабушку.
Бабушка из дома не выходит и общается только с Васей.
Учесть условия и результаты решения предыдущих задач, а также:
А) Если кто-то заболел, то живущие с ним в одном доме заболевают с вероятностью $0.5$ ($50$%)
Б) Бабушка находится в группе повышенного риска, и для неё вероятность умереть, в случае заболевания, равна $0.5$ ($50$%)

Вопрос: любит ли Вася бабушку или замыслил недоброе?

(Ответ)

Ответ: Возможно, Вася замыслил недоброе, но с учетом его когнитивных способностей (см. Задачу 3), точно ответить нельзя.

(Решение)

Решение:
1. Вася заболеет с вероятностью $P_1 = 0.429$ ($42.9$%). См. решение Задачи 3.
2. Бабушка заболеет с вероятностью $P_2 = P_1 \cdot 0.5 = 0.2145$ ($21.45$%)
3. И умрет от ковида с вероятностью $P_3 = P_2 \cdot 0.5 = 0.1073$ ($10.73$%)
4. Аналогичными расчетами получим, что
а) если привьется только Вася, то вероятность, что бабушка умрет от ковида уменьшится примерно в $10$ раз.
б) если привьется и Вася, и бабушка, то вероятность, что бабушка умрет от ковида уменьшится примерно в $100$ раз.
Вася всячески повышает вероятность получить наследство. По злому умыслу или по глупости – сиё науке неизвестно.

[Mikhail_K]

EUgeneUS
"Задачник" супер!
Очень здорово получилось.

EUgeneUS в сообщении #1524748 писал(а):

Вася всячески повышает вероятность получить наследство.

Строго говоря, вероятность для Васи получить наследство - это вероятность того, что бабушка умерла и Вася остался жив. Можно ещё её посчитать.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Беседы на околонаучные темы» в форум «Юмор, поздравления, сходки»
Причина переноса: пожалуй, действительно скорее сюда .

[wrest]

EUgeneUS
Спасибо вам!!

По поводу бабушки, вроде кто-то навроде Гинцбурга говорил что привтые носители (привились но заразились) не выделяют вирус или выделяют как-то сильно меньше. Так что шансы бабушки не кмереть из-за привитости Васи будут существенно выше.

Так же интересен и вопрос о 70% (пункт 2 решения задачи 3).
Тут вы рассматриваете краткосрочную ситуацию (до момента когда "эпидемия окончится"). Мне представляется, что вероятность заразиться в долгосрочной перспективе (т.е. до достижения возраста средней продолжительности жизни), если человек молодой, близка к 100%. Как с гриппом: если не прививаться то болеть будешь может и не каждый год, но когда-то все равно заболеешь. С ветрянкой тож самое. Если не привьешься, рано или поздно все равно будешь в пупырышках.

[Emergency]

EUgeneUS в сообщении #1524748 писал(а):

переболело ковидом в России $5 300 000$ человек

EUgeneUS в сообщении #1524748 писал(а):

за время эпидемии в России сверхсмертность составила $500 000$ человек

EUgeneUS в сообщении #1524748 писал(а):

Вероятность летального исхода, если случился ковид – $0.5$ % ($0.005$)

Лучше было бы пользоваться едиными данными (летальность не совпала).
А задачи мне понравились.

[Padawan]

EUgeneUS в сообщении #1524748 писал(а):

Четыре девятки! Вася - рафинированный врун, болтун и хохотун.

Предполагается, что друзья Васи болеют или нет независимо. Что неверно. Может быть он из отдаленной деревни?

[Emergency]

Padawan в сообщении #1524782 писал(а):

Предполагается, что друзья Васи болеют или нет независимо. Что неверно. Может быть он из отдаленной деревни?

Действительно, а среди передружившихся пациентов ковидного госпиталя болеют все.

[Red_Herring]

С Васей не все ясно. Он же не знает, кто из его "просто знакомых" болел или нет. Мой пример: из сотрудников нашей кафедры мне известна одна смерть и ни одной болезни без смерти. Я могу лишь утверждать, что из очень узкого круга не болел никто. Не говоря уже о том, что применять статистику по России к его знакомым не вполне правомерно. Например, в Торонто существуют горячие точки: районы, населенные преимущественно иммигрантами, небелыми и бедными, живущими гораздо более скученно, чем основное население, и работающими не на удаленке. Сортировочные пункты почты, склад Амазона, и мясокомбинаты мелькали в новостях ...

[EUgeneUS]

Red_Herring в сообщении #1524905 писал(а):

Он же не знает, кто из его "просто знакомых" болел или нет.

Если Вася не знает, но утверждает, то как раз-то всё просто: Вася - врун, болтун и хохотун достоверно, со 100%-й вероятностью. Ибо делает заведомо недостоверное утверждение.

Red_Herring в сообщении #1524905 писал(а):

Мой пример: из сотрудников нашей кафедры мне известна одна смерть и ни одной болезни без смерти. Я могу лишь утверждать, что из очень узкого круга не болел никто.

Тут тоже всё просто - зависит от величины близкого круга и процента переболевших в Канаде, а лучше в Торонто, а лучше в Вашем районе Торонто.

Red_Herring в сообщении #1524905 писал(а):

Например, в Торонто существуют горячие точки: районы, населенные преимущественно иммигрантами, небелыми и бедными, живущими гораздо более скученно, чем основное население, и работающими не на удаленке. Сортировочные пункты почты, склад Амазона, и мясокомбинаты мелькали в новостях ...

Не знаю, как в Канаде, но у нас как-то не очень принято особо скрывать перенесенный ковид. Среди моих знакомых (в том числе не очень близких) на вопрос "Ты привился?", часто можно услышать ответ, "Нет, я переболел".