Алгебраические числа [типа (arctg2+arctg3)/pi]

[nikov]

1) Является ли \pi^{-1}\arctg 2 алгебраическим числом?
2) Является ли \pi^{-1}\arctg {(3 \sqrt 3)} алгебраическим числом?

Хочу пояснить, что это не домашнее задание, и я уже давно не студент. Просто я сам задумался над этими вопросами, и решил спросить совета специалистов. Программа Mathematica не смогла дать ответы на эти вопросы.

[PAV]

PAV:

Тема переносится в карантин. Исправьте в своем сообщении формулы в соответствии с правилами форума (инструкция здесь). Когда будет готово, сообщите любому модератору, и тема будет возвращена обратно (точнее, в раздел "Помогите решить").

Добавлено спустя 23 минуты 57 секунд:

Возвращено

[nikov]

Мне довольно легко удалось показать, что \pi^{-1}(\arctg 2+\arctg 3) - алгебраическое число. А с отдельными слагаемыми затруднение.

[Алексей К.]

У Вас где-то очепятка: в первом сообщении $\arctg (3\sqrt3)$ фигурирует, во втором --- $\arctg 3$.

[nikov]

Алексей К. писал(а):

У Вас где-то очепятка: в первом сообщении $\arctg (3\sqrt3)$ фигурирует, во втором --- $\arctg 3$.

Нет, очепятки нету. Во втором сообщении я размышляю о первом примере из первого сообщения.

[antbez]

Цитата:

Мне довольно легко удалось показать, что - алгебраическое число.

Как? Приведите уравнение, корнем которого является это число

[nikov]

antbez писал(а):

Как? Приведите уравнение, корнем которого является это число

4 x - 3 = 0

[Профессор Снэйп]

antbez писал(а):

Как? Приведите уравнение, корнем которого является это число

$$ 4x-3=0 $$

[ИСН]

antbez писал(а):

Как? Приведите уравнение, корнем которого является это число

Я хотел сказать что-то ехидное на ту же тему, но не успел.

Боюсь, однако, что с отдельными слагаемыми такой халявы не будет.

[ewert]

Автор изначально ни про какие уравнения в этом конкретно месте вроде и не говорил, а просто имел в виду, что $\tg{3\pi\over4}=-1$.

[antbez]

Цитата:

antbez писал(а):
Как? Приведите уравнение, корнем которого является это число

При чём тут это?!

[ИСН]

Что при чём? Вы полином (доказывающий алгебраичность данного числа) спрашивали? Это он.

[antbez]

Я про число $\frac{3}{4}$ не спрашивал

[ИСН]

Of course you did. Потому что, видите ли, $\arctg 2+\arctg 3\over\pi$ - это оно и есть.

[Sonic86]

$\frac{\arctg 2}{\pi}$ - иррационально.
Насчет алгебраичности халявы совсем нет.