Показатель Херста и R/S анализ временных рядов

[Otta]

Мне бы нормальный источник. Смотрю Петерса, смотрю Федера. Там ничего не группируется, считается размах, нормируется, и в общем, все понятно.

В других источниках почему-то группируются данные, по интервалам равной длины, и уже потом что-то с ними делают.

От чего зависит выбор алгоритма? Где нормально почитать?

(Я, может, бестолково пишу: 15 книг открыто разом, у меня глаз столько нету, во все смотреть :) если нужно, напишу нормально. Но у меня есть надежда, что кто-то знает, о чем я. Вдруг?)

[Pphantom]

Так ведь стандартная процедура подсчета предполагает, что временной ряд равномерный. Соответственно, если это условие не выполнено, его сначала надо сделать равномерным, усреднив на одинаковых интервалах.

[Otta]

Pphantom
Ну вот Федер: https://scask.ru/d_book_fract.php?id=43 стр. 147 и далее.
Он рассматривает ряд именно как функцию непрерывного времени, никаких групп не видится. Допускаю, что я не вижу или не там смотрю.
Вот другая шпаргалка (начиная со страницы 57): https://math.spbu.ru/user/gran/soi5/Gatchkov5.pdf
Тут группируется, да, усредняя на одинаковых интервалах. Потом еще раз на одинаковых интервалах (другой длины) и так далее.
Правильно ли я понимаю, что при разных $n$, вовсе не последовательных, поскольку не все они делители $N$, вычисляется величина $(R/S)_n$, и собственно, из уравнения регрессии для логарифма этой величины и ищется $H$?

[Pphantom]

Otta в сообщении #1524604 писал(а):

Он рассматривает ряд именно как функцию непрерывного времени, никаких групп не видится.

Как дискретный равномерный временной ряд. Там же $t$ всюду целое (хотя, да, явно это и не говорится).

Otta в сообщении #1524604 писал(а):

Тут группируется, да, усредняя на одинаковых интервалах. Потом еще раз на одинаковых интервалах (другой длины) и так далее.

А, тогда теперь я неправильно понял, что понимается под группировкой. Тут тоже равномерные ряды.

Otta в сообщении #1524604 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что при разных $n$, вовсе не последовательных, поскольку не все они делители $N$, вычисляется величина $(R/S)_n$, и собственно, из уравнения регрессии для логарифма этой величины и ищется $H$?

Да, именно так - как степенная зависимость от характерного масштаба, которым тут служит $n$.

[Евгений Машеров]

Показатель Хёрста основан на зависимости отношения R/S от длины отрезка, на котором он рассчитывается. Поэтому для его расчёта надо разбить ряд на отрезки равной длины, для разного набора длин, и затем строить зависимость R/S от длин отрезков, на которые разбивается ряд. Для случая ряда с независимыми приращениями размах растёт пропорционально $n^{\frac 1 2}$, так что оценивая обычной регрессией логарифма R/S на логарифм n угол наклона, можем сделать вывод, являются ли приращения независимыми, есть ли "память", или, напротив, некая "стабилизация", возвращающая к средним значениям.
Но разбивать обязательно (ну, в принципе, можно не делать многократные разбиения одного и того же ряда на равные куски, а брать неперекрывающиеся разной длины, но это на данных разумного объёма совершенно непрактично).
Небольшая проблема - если длина доступного ряда не делится на достаточное число "желательных длин". Приходится отбрасывать часть наблюдений, чтобы число оставшихся "хорошо делилось" бы. Или, как эмпирический приём, повторять расчёт, "деля с остатком" и "скользя" (скажем, если у нас 112 точек, а поделить хотим на 5, то берём точки с начала, отбрасывая последние две, затем отбрасываем первую и последнюю, затем две первые). Однако объединение полученных данных выглядит статистически сомнительно (чисто эмпирически скажу - работает).

[Евгений Машеров]

Otta в сообщении #1524604 писал(а):

Ну вот Федер: https://scask.ru/d_book_fract.php?id=43 стр. 147 и далее.
Он рассматривает ряд именно как функцию непрерывного времени, никаких групп не видится. Допускаю, что я не вижу или не там смотрю

У Федера никаких ошибок не видно, но он опускает саму процедуру расчёта. Основанную на том, что отношение R/S является функций от $\tau$. То есть надо оценить это отношение для разных $\tau$, построить регрессию логарифма первой величины на логарифм второй и так получить показатель Хёрста. И вот перебор разных $\tau$ делается через разбиение исходных данных на отрезки разной длины.

[Otta]

Евгений Машеров в сообщении #1524640 писал(а):

Основанную на том, что отношение R/S является функций от $\tau$

Да нет, это-то как раз понятно.

В том-то и дело, что процедура расчета достаточно невнятно изложена почти везде, иначе не возникла бы тема.

Попутно: даже если число измерений достаточно велико, вполне может оказаться, что делителей мало, а тогда возникают проблемы с построением регрессии. Ну не будешь же по двум-трем значениям ее строить. Интересно, как это обойти на практике, есть ли уже готовые рецепты?

[Pphantom]

Otta в сообщении #1524771 писал(а):

Интересно, как это обойти на практике, есть ли уже готовые рецепты?

Формально надо использовать все возможные различные масштабы в окрестности всех имеющихся точек. А если это невозможно, то и вся процедура в целом не имеет смысла.

[Otta]

Это, конечно, да, поскольку по сути, вычисляется хаусдорфова размерность.
Но тогда, наверное, нет смысла использовать прямо все масштабы? можно сразу взять самый мелкий (то есть крупный )): скажем, если доступны данные подневные, то их, если почасовые, то их, ну и так далее?

Насколько я помню, у родоначальника метода (т.е. Херста) был довольно небольшой объем данных.

[Pphantom]

Otta в сообщении #1524774 писал(а):

Это, конечно, да, поскольку по сути, вычисляется хаусдорфова размерность.

Именно.

Otta в сообщении #1524774 писал(а):

Но тогда, наверное, нет смысла использовать прямо все масштабы? можно сразу взять самый мелкий (то есть крупный )): скажем, если доступны данные подневные, то их, если почасовые, то их, ну и так далее?

Нет, я под масштабом понимаю длину отрезка, для которого вычисляется $R/S$. И тут именно что стоит использовать все, для равномерного временного ряда - от единичного (расстояния между ближайшими точками) до всей длины ряда. На минимальных и максимальных будут видны "краевые эффекты", но центральная часть зависимости $R/S$ от $n$ должна быть степенной, иначе это все не имеет смысла.