Теория групп. Доказать отсутствия изоморфизма для Q+

[HateThisProblem]

mihaild в сообщении #1524540 писал(а):

Тут какая-то путаница. Теоремы

Padawan в сообщении #1524533 писал(а):

Группа $F$ изморфна прямому произведению своих подгрупп $G$ и $H$ ттт ... 2) $H\cap G=\{e\}$.

быть не может, т.к. например группа $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ изоморфна прямому произведению своих подгрупп - первого $\mathbb Z_2$ и еще раз первого $\mathbb Z_2$, которые пересекаются.
HateThisProblem, сформулируете полностью утверждение, на которое ссылаетесь?

Утверждение сформулировано полностью изначально, только, как оказалось, это не критерий, а следствие теоремы, в которой 2 условие заменено на единственность представления любого $f$

[mihaild]

Padawan, но от нас не требуется разложить $\mathbb Q$ в прямое произведение подгрупп, а только построить изоморфизм с таким произведением. И тут надо доказать, что если группа изоморфна произведению своих подгрупп (и на самом деле просто любых групп), то в ней есть непересекающиеся подгруппы, изоморфные сомножителям. Ну и т.к. любые две подгруппы $\mathbb Q$, как показал ТС, пересекаются, то это будет означать, что $\mathbb Q$ вообще не раскладывается в прямое произведение.

[Padawan]

mihaild
Формально Вы правы. А по сути та теорема, о которой говорит ТС, это в себе содержит. Просто изоморфизм переносит те две группы в подгруппы, в произведение которых наша группа уже раскладывается. И применяем критерий разложения в произведение подгрупп.