Наивные вопросы по теории вероятностей

[svv]

Anton_Peplov, не будет ли Вам интересна эта тема? Возможно, у её автора сходные вопросы (я особенно не вникал).

[Someone]

И ещё https://dxdy.ru/topic146354.html того же автора.

[Anton_Peplov]

Спасибо, пасьянс сошёлся. Всё получается очень красиво, если начинать не с набора из $n$ функций $\Omega \to \mathbb R$, а сразу с функции $\Omega \to \mathbb R^n$.

Напомним определение случайной величины. Рассмотрим пространство $D$ с заданной на нем сигма-алгеброй $\Sigma$. Рассмотрим также вероятностное пространство $( \Omega, \Gamma, P)$. Случайной величиной $X$ называется $(\Gamma, \Sigma)$-измеримая функция $x = \xi( \omega)$ , определенная на $\Omega$ и принимающая значения из $D$.

Если за $D$ принять $\mathbb R$, мы получим обычную (одномерную) случайную величину. Взяв в качестве $D$ пространство $\mathbb R^n$, получим $n$-мерную случайную величину или $n$-мерный случайный вектор.

Теорема. Пусть $X^n$ - случайная величина $\Omega \to \mathbb R^n$, заданная на вероятностном пространстве $(\Omega, \Gamma, P)$. Тогда её координатные функции $x_1 = \xi_1 ( \omega), \dots x_n = \xi_n ( \omega)$ сами являются случайными величинами $\Omega \to \mathbb R$, заданными на том же вероятностном пространстве. Обратно, упорядоченный набор из $n$ случайных величин $X_1 \dots X_n \colon \Omega \to \mathbb R$, заданных на одном и том же вероятностном пространстве $(\Omega, \Gamma, P)$, образует координатные функции случайного вектора $\Omega \to \mathbb R^n$, заданного на том же вероятностном пространстве. При определении случайных величин сигма-алгебры на $\mathbb R$ и $\mathbb R^n$ приняты борелевскими.

Это непосредственно следует из следующей леммы.

Лемма. Пусть $\Sigma$ - борелевская сигма-алгебра на $\mathbb R$, $\Sigma^n$ - борелевская сигма-алгебра на $\mathbb R^n$, $\Gamma$ - произвольная сигма-алгебра на $\Omega$. Функция $f \colon \Omega \to \mathbb R^n$ является $(\Gamma, \Sigma^n)$-измеримой, согда все её координатные функции $x_1 = \xi_1 ( \omega), \dots x_n = \xi_n (\omega)$ $(\Gamma, \Sigma)$-измеримы.

Таким образом, под $n$-мерной случайной величиной можно понимать упорядоченный набор из $n$ случайных величин $X_1 \dots X_n \colon \Omega \to \mathbb R$, заданных на одном и том же вероятностном пространстве $(\Omega, \Gamma, P)$, который также называется системой случайных величин. Интуитивный смысл этого определения прост: в результате одного и того же испытания свои значения принимают $n$ случайных величин (например, координаты выбранной точки).

[Padawan]

Anton_Peplov в сообщении #1524511 писал(а):

Спасибо, пасьянс сошёлся.
Теорема.

Блин. Ну а я не то же самое писал?

Padawan в сообщении #1522514 писал(а):

Возможно, это кое-что прояснит для ТС
Предложение. Отображение $\xi\colon \Omega\to\mathbb R^2$, $\xi(\omega)=(\xi_1(\omega),\xi_2(\omega))$, измеримо (относительно борелевской сигма-алгебры в $\mathbb R^2$) ттт измеримы функции $\xi_1$ и $\xi_2$.

Конечно, приятно, что я угадал в чём именно могло быть недопонимание, и в этом я вижу свой профессионализм, как преподавателя. Но... неприятно, что мое замечание по сути было проигнорировано. В Ваших темах больше не участвую. Извините за беспокойство.

[Anton_Peplov]

Padawan в сообщении #1524527 писал(а):

неприятно, что мое замечание по сути было проигнорировано

Напротив, именно оно и стало недостающим фрагментом паззла. Так что Вам персональное спасибо. Mea culpa, что не процитировал.
Вас удивляет, что я сообразил не сразу же после того, как Вы это написали? Не удивляйтесь. Иногда, даже глядя на что-то в упор, трудно понять, что это именно то, что тебе нужно. Пока в голове не образуется место, куда это можно уложить.

[Padawan]

Anton_Peplov в сообщении #1524536 писал(а):

Mea culpa, что не процитировал.

Да, именно это обидело.

[svv]

Padawan в сообщении #1524527 писал(а):

Но... неприятно, что мое замечание по сути было проигнорировано.

Padawan в сообщении #1524537 писал(а):

Anton_Peplov в сообщении #1524536 писал(а):

Mea culpa, что не процитировал.

Да, именно это обидело.

Можно подумать, сами Вы никогда так не поступаете.
Сходу могу привести ещё 2-3 ссылки.

[Padawan]

svv
Хм. Но в той теме я поблагодарил ИСН, поскольку именно его сообщение оказалось для меня полезным. А Ваше сообщение я тогда не понял. Здесь же ситуация другая, о чем ТС написал. Впрочем, Вы правы. Глупо обижаться.

[svv]

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #1524575 писал(а):

А Ваше сообщение я тогда не понял.

Попробую тогда ещё раз. Формула-то классная.

[Anton_Peplov]

Теперь попробуем взять две случайные величины $X_1, X_2$, определённые на разных вероятностных пространствах $(\Omega_1, \Gamma_1, P_1)$ и $(\Omega_2, \Gamma_2, P_2)$, и построить из них двухмерный случайный вектор. Определим новое вероятностное пространство $(\Omega, \Gamma, P)$ как произведение вероятностных пространств: $\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2$, $\Gamma = \Gamma_1 \otimes \Gamma_2$, $P = P_1 \otimes P_2$. Рассмотрим $X_1, X_2$ как заданные на вероятностном пространстве $(\Omega, \Gamma, P)$.

Если $\Omega_1, \Omega_2$ конечны, то величины $X_1, X_2$ получаются независимыми друг от друга (по определению $P(\omega_1, \omega_2) = P_1(\omega_1) P_2(\omega_2)$), так что нет особого смысла объединять их в систему.

Если же $\Omega_1, \Omega_2$ бесконечны, то я могу себе представить, что продолжение меры с $\Gamma_1 \times \Gamma_2$ на $\Gamma = \Gamma_1 \otimes \Gamma_2$ (минимальную сигма-алгебру над $\Gamma_1 \times \Gamma_2$) выкинет какой-нибудь контринтуитивный фокус, и величины $X_1, X_2$ на вероятностном пространстве $(\Omega, \Gamma, P)$ окажутся зависимыми друг от друга. Но возможно ли такое на самом деле, или они всегда останутся независимыми?

[mihaild]

Невозможно. $X_1$ порождает сигма-алгебру $\Omega_1 \times \Gamma_2$, $X_2$ - $\Gamma_1 \times \Omega_2$ и при $A = A_1 \times \Gamma_2$, $B = \Gamma_2 \times B_1$, имеем

$$P(A \cap B) = P(A_1 \times B_1) = P_1(A_1) P_2(A_2) = P(A_1 \times \Gamma_2) P(\Gamma_1 \times B_1) = P(A) P(B)$$

[Anton_Peplov]

mihaild, спасибо. Вы пару раз опечатались в индексах, но, кажется, я понял мысль.

[Anton_Peplov]

Кое-что меня всё же беспокоит. Распишу более подробно.

Возьмём две случайные величины $X_1, X_2$, определённые на разных вероятностных пространствах $(\Omega_1, \Gamma_1, P_1)$ и $(\Omega_2, \Gamma_2, P_2)$. Определим новое вероятностное пространство $(\Omega, \Gamma, P)$ как произведение вероятностных пространств: $\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2$, $\Gamma = \Gamma_1 \otimes \Gamma_2$, $P = P_1 \otimes P_2$.

Рассмотрим величины $X_1^\prime, X_2^\prime$, которые представляют собой величины $X_1, X_2$, переопределённые на вероятностное пространство $(\Omega, \Gamma, P)$. Что значит "переопределённые"? Это значит, что существует функция $f_1 \colon \Gamma_1 \to \Gamma$, которая ставит в соответствие каждому событию $A_1 \in \Gamma_1$ событие $A \in \Gamma$, причём $A = A_1 \times \Omega_2$. Аналогично существует функция $f_2 \colon \Gamma_2 \to \Gamma$, которая ставит в соответствие каждому событию $B_1 \in \Gamma_1$ событие $B \in \Gamma$, причём $B = \Omega_1 \times B_2$.

Выше mihaild доказал, что $\forall A_1 \in \Gamma_1, B_2 \in \Gamma_2$ верно $P(AB) = P_1(A_1)P_2(B_2) = P(A)P(B)$, т.е. события $A, B$ независимы.

Однако! $\Gamma = \Gamma_1 \otimes \Gamma_2$ есть минимальная сигма-алгебра над $\Gamma_1 \times \Gamma_2$, и вообще говоря, она не совпадает с $\Gamma_1 \times \Gamma_2$. Другими словами, могут существовать $A,B \in \Gamma$, не имеющие прообразов в $\Gamma_1, \Gamma_2$ соответственно: $f_1^{-1}(A) = \varnothing$ либо $f_2^{-1}(B) = \varnothing$. То есть $A = A_1 \times \Omega_2$, но $A_1 \notin \Gamma_1$ (или $B = \Omega_1 \times B_2$, но $B_2 \notin \Gamma_2$). Останется ли в этом случае верным утверждение, что $P(AB) = P(A)P(B)$?