Доброго времени суток!
Пытаюсь построить бесконечно дифференцируемую функцию
, обладающую определенными свойствами (сама функция и все производные должны быть интегрируемы, но
не должна быть интегрируемой).
Я построил семейство парабол, со все более низкими вершинами и за счет этого интеграл от
будет расходиться. Но теперь мне нужно как-то эти параболы гладко склеить, и вдобавок чтобы и полученная функция, и все её производные были интегрируемы.
Я построил такую функцию, но она пока получилось только из
, поскольку я склеил производную негладко.
На картинках ниже, то голубым пунктиром - склейка производной при помощи парабол.
Получается, мне надо каким-то образом склеить эти красные (это части прямых, со все более маленьким угловым коэффициентом) отрезки очень гладко, чтобы полученная функция была бесконечно дифференцируема и чтобы все производные были интегрируемы (достаточно, чтобы интеграл от склеек сходился, так как интеграл по уже построенной функции сходится, то же для всех производных).
Может быть есть такая замечательная функция, которая задается явной формулой (мне надо будет еще первый интеграл от каждой такой склейки подогнать под конкретное значение) и которая бы гладко склеивала эти отрезки.