Гладкая склейка функций

[meshok]

Доброго времени суток!
Пытаюсь построить бесконечно дифференцируемую функцию $f:\mathbb{R}\to(0,\infty)$, обладающую определенными свойствами (сама функция и все производные должны быть интегрируемы, но $\frac{|f'^3|}{f^2}$ не должна быть интегрируемой).
Я построил семейство парабол, со все более низкими вершинами и за счет этого интеграл от $\frac{|f'^3|}{f^2}$ будет расходиться. Но теперь мне нужно как-то эти параболы гладко склеить, и вдобавок чтобы и полученная функция, и все её производные были интегрируемы.
Я построил такую функцию, но она пока получилось только из $C^1(\mathbb{R})$, поскольку я склеил производную негладко.
На картинках ниже, то голубым пунктиром - склейка производной при помощи парабол.




Получается, мне надо каким-то образом склеить эти красные (это части прямых, со все более маленьким угловым коэффициентом) отрезки очень гладко, чтобы полученная функция была бесконечно дифференцируема и чтобы все производные были интегрируемы (достаточно, чтобы интеграл от склеек сходился, так как интеграл по уже построенной функции сходится, то же для всех производных).
Может быть есть такая замечательная функция, которая задается явной формулой (мне надо будет еще первый интеграл от каждой такой склейки подогнать под конкретное значение) и которая бы гладко склеивала эти отрезки.

[Vince Diesel]

Для функции $f(x)=\frac{\sin ^2x}{x^2}$

$$ {f'}^3(x)/f^2(x)=\frac{8 \sin ^2x (x \ctg x-1)^3}{x^5}. $$

- неинтегрируемая особенность в точках $x=\pi n$.

[meshok]

Спасибо за Ваш пример, в один ряд с вашей можно еще такую функцию $\Large \displaystyle f(x)=x^2e^{-x^2}$, но у обеих этих функций есть нули, а в моем случае важно их отсутствие.

[EUgeneUS]

meshok
Нет такого клея, чтобы бесконечно гладко склеить графики двух разных полиномов.
Даже если полиномы одной степени, не говоря уж о прямой и параболе.

[meshok]

Понятно, спасибо. К слову, я пытался склеить семейство прямых (они у меня получались в следствие дифференцирования парабол), а не прямую и параболу.
Верно ведь тогда понимаю, что если я захочу склеить бесконечно гладко две константы, как, например, на рисунке ниже, то тоже ничего не выйдет.

[EUgeneUS]

meshok
Не совсем так.
Насколько понял:
Вы пытаетесь склеить семейство прямых так, чтобы в промежутки между прямыми были уложены параболы. Вот так бесконечно гладко сделать нельзя.

Что касается примера с константами. Если в промежуток между графиками констант Вы будете вставлять график полинома, то так бесконечно гладко опять не склеится.

Это, конечно, не означает что
А) исходная задача не решается.
Б) что графики двух различных констант вообще нельзя склеить бесконечно гладко.

[meshok]

Сам ощущаю, что изложил всё скомкано, так как писал второпях.
Общая задача такая: склеить параболы любым способом, но чтобы полученная функция была бесконечно дифференцируемой и она и все ее производные были интегрируемы.
Я решил, что склеивать параболы, по всей видимости, сложнее, чем прямые, и поэтому продифференцировал их и пытался склеивать уже производные (то бишь прямые), а затем при помощи интегрирования обратно бы пришел к своим параболам.
Мне нужно любым способом склеить эти прямые, не обязательно полиномом, но желательно, чтобы функция задавалась явной формулой, и чтобы первообразная вычислялась в элементарных функциях.
И в примере с константами я имел в виду любую склейку. Например, функция $\Large \displaystyle e^{\frac{-1}{x}}\chi_{(0,+\infty)}$ гладко выходит из левой константы, но зато с правой не склеивается. Нет ли такой функции на подобие этой, но которая из левой гладко выходит и в правую гладко заходит.

[пианист]

Насчёт первообразной, боюсь, придётся урезать осетра, так не выйдет.
Насчёт остального смотрите в сторону "шапочек" - финитных $C^{\infty} $ функций, примеры в любой книжечке по обобщенным функциям.

[Dan B-Yallay]

meshok в сообщении #1524215 писал(а):

Мне нужно любым способом склеить эти прямые, не обязательно полиномом

meshok в сообщении #1524215 писал(а):

Нет ли такой функции на подобие этой, но которая из левой гладко выходит и в правую гладко заходит.

Постников М.М. "Лекции по геометрии, Семестр III. Гладкие многообразия" , Москва "Наука" 1987
Стр. 16 (c теоремы Уитни) по стр. 18.

[Padawan]

meshok в сообщении #1524118 писал(а):

Пытаюсь построить бесконечно дифференцируемую функцию $f:\mathbb{R}\to(0,\infty)$, обладающую определенными свойствами (сама функция и все производные должны быть интегрируемы, но $\frac{|f'^3|}{f^2}$ не должна быть интегрируемой).

Может быть такой функции и не существует...

[Vince Diesel]

meshok в сообщении #1524203 писал(а):

но у обеих этих функций есть нули, а в моем случае важно их отсутствие.

Можно добавить маленькое слагаемое в числитель:

$$ f(x)=\frac{\sin ^2x+e^{-x}}{x^2}, $$

тогда в точках $x=\pi n$ будут всплески (чтобы не было особенности в нуле, взять $f(x+1)$). То, что интеграл разойдется, я не проверял. Численно, последовательность значений интеграла на отрезках $[\pi n-1/2, \pi n+1/2]$, умноженных на $n$, для нескольких первых значений $n$ растет. Можно взять и более быстро убывающую добавку, например, $e^{-x^2}$.