Сообщение посвящено § 7 (Конституенты.) "Теории множеств" К. Куратовского, А. Мостовского
https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf .
Прошел книгу Н. Я. Виленкина «Рассказы о множествах», за исключением последних страниц (задачи, упражнения), но к ним буду возвращаться. Узнал много интересного, спасибо за рекомендацию. Теперь, думаю, имею моральное право вернуться к Куратовскому, Мостовскому.
1.
Цитата:
Пусть
произвольные подмножества пространства
https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf (стр. 29)
где
это универсум (пространство) (то есть некоторое фиксированное множество, в котором содержатся
).
Конституента здесь это произведение
множеств (то есть их пересечение), каждое из которых является либо одним из множеств
, либо дополнением одного из множеств
.
Возьмем случай
.
На рис. 1 мы видим конституенту
, закрашенную сиреневым цветом, которая получается от пересечения всех трех множеств
.
Поскольку пересечение трех множеств можно представить как пересечение одного из них с пересечением двух других (ассоциативность):
возьмем сначала, например, пересечение
(это еще не конституента):
и затем пересечем его с
(тогда получится уже конституента, а именно, конституента
):
Если пересечем
с
(с синим кругом), получим конституенту
(закрашенную зеленым):
Если пересечем
с
, получим конституенту
(закрашенную зеленым):
Все конституенты для случая
видны на рис. 6:
Для того же случая
множества
можно расположить так:
и окрашивать обозначения множеств, из которых получается данная конституента, например конституента
(рис. 4):
или конституента
(рис. 5):
2.
Цитата:
Множество
равно сумме конституент, содержащих сомножитель
.
https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf стр. 30
Поскольку
, можно сказать просто: "Множество
равно сумме конституент, содержащих сомножитель
."
(Относительно множеств
на рис. 6 хорошо видно, из каких конституент состоит какое множество.)
Цитата:
Действительно,
где
все конституенты. Тогда
Убедимся в этом:
Далее по учебнику.
3.
Цитата:
Теорема 1. Каждое непустое множество, образованное из множеств
при помощи операций сложения, умножения и вычитания, является суммой некоторого числа конституент.
(
https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf стр.30)
Относительно множества
это можно видеть на рис. 1, 6.
В самой этой теореме не у дел остается конституента
, которая является пересечением всех дополнений множеств
(для случая
это конституента
, рис. 3, 6).
То есть какую бы комбинацию этих трех операций по отношению к множествам
мы ни применили, мы не сможем выйти за пределы множества
(рис. 1, 6), так что ни в каком случае мы не будем к прочим конституентам прибавлять конституенту
.
Правда, в доказательстве теоремы, как я понимаю, у авторов задействуются все конституенты, в том числе и
:
Цитата:
Теорема верна для множеств
. Поэтому достаточно показать, что если множества
и
являются суммами некоторого числа конституент, то и множества
и
(если только они не пустые) можно представить в виде суммы конституент.
То есть она доказывается для всех множеств, которые можно получить при помощи этих трех операций из множеств
.
Может быть, был бы смысл сформулировать теорему соответственно:
"Каждое непустое множество, образованное из множеств
при помощи операций сложения, умножения и вычитания, является суммой некоторого числа конституент," -- то есть дать более сильную формулировку, такую же сильную, как доказательство?
[Если основными множествами считать не
, а
, то не у дел останется конституента, которая является пересечением всех множеств
(для случая
конституента
, рис. 1, 6). ]
Во всяком случае, для того, чтобы получить все конституенты, недостаточно только множеств
, нужно еще множество
.
[Все остальные конституенты можно получить при помощи операций
из множеств
, например, конституента
это
, а конституента
это
, рис. 6.]
4.
В доказательстве на стр. 31, седьмая строчка сверху , есть выражение
Цитата:
Это, конечно, так, но здесь, наверное, все же опечатка: вместо знака включения должен стоять знак равенства? (Здесь
.)
Дальше. Со строчки 11:
Цитата:
Здесь явное несоответствие, потому что
(Здесь
.)
Если выбросить
, то получим
Цитата:
(это, конечно, тоже так, но непонятно, зачем об этом говорить)
Цитата:
поскольку
Теорема доказана.