Путаница в индексах

[Vladimir Pliassov]

Приведу цитату из https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf стр.29:

Цитата:

Пусть $A_1, \ldots, A_n$ -- произвольные подмножества пространства $1$ ...

Обозначим

$A_i^1=1-A_i, \;\;\;\; A_i^0=A_i$ для $i=1, \ldots, n$.

пока что вопросов нет, но вот дальше:

Цитата:

Каждое множество вида

$A_1^{i_1}\cap A_2^{i_2}\cap \ldots A_n^{i_n}\;\;\; (i_k=0 \;\; \text {или} \;\; i_k=1 \;\;\; \text {для} \;\; k=1, \ldots, n)$

назовем конституентой.

Однако, в настоящем сообщении речь не о конституенте, а об обозначениях, правильные ли они?

Если $i$ это общее обозначение номеров множеств $A_1, \ldots, A_n$, то есть если произвольное множество из этого семейства обозначается $A_i$, то, например, $A_1^{i_1}$ это $A_i^{i_1}$ при $i=1$, но тогда и верхнее $i$ должно быть равно $1$, то есть должно быть $A_1^{1_1}$, соответственно $A_2^{2_2}$ и т.д., то есть постоянная величина получает индекс, значит, имеется двойка вторая, и, возможно, двойка первая, третья и т.д., и, разумеется, все эти двойки могут отличаться друг от друга.

Я бы предложил, например, обозначение $A_1^{\lambda_1}\cap A_2^{\lambda_2}\cap \ldots A_n^{\lambda_n}\;\;\; (\lambda_k=0 \;\; \text {или} \;\; \lambda_k=1 \;\;\; \text {для} \;\; k=1, \ldots, n)$, тогда не было бы этой путаницы.

Или я неправильно понимаю?

[nnosipov]

Vladimir Pliassov в сообщении #1523801 писал(а):

Или я неправильно понимаю?

Вы излишне драматизируете ситуацию. Просто $i \neq i_1$ и $i_1$ --- это единый символ, делать из него что-то типа $1_1$ не имеет смысла.

[Vladimir Pliassov]

То есть нижнее $i$ и верхнее $i$ это как бы разные буквы, не связанные по смыслу, которые различаются тем, что при одной из них стоит индекс, а при другой нет? Ну, если так, то согласен, хотя если бы авторы не пожалели еще одной буквы для обозначений, легче было бы понять.

Вот еще один пример, оттуда же (https://ikfia.ysn.ru/wp-content/uploads ... 1970ru.pdf стр. 32):

Цитата:

Пример. Пусть множество $D_m$ составлено из всех таких последовательностей $(z_1, \ldots, z_n)$, что каждое $z_i$ равно либо $0$, либо $1$, но $z_m=0$. Множества $D_1, \ldots, D_n$ независимы. В самом деле $D_m^{i_m}$ состоит из всех последовательностей $(z_1, \ldots, z_n)$, для которых $z_m=i_m$, поэтому $(i_1, \ldots, i_m)\in D_1^{i_1}\cap \ldots D_n^{i_n}$.

(Здесь, как я понимаю, опечатка, должно быть не $(i_1, \ldots, i_m)$, а $(i_1, \ldots, i_n)$.)

Если присмотреться, то в этих двух примерах индексы при множествах указаны по разным принципам: в первом -- $A_i^{i_k}$, во втором -- $D_m^{i_m}$ хотя $A_i^{i_k}$ и $D_m^{i_m}$ означают одно и то же -- либо множество, либо его дополнение (в зависимости от того, чему равен верхний двойной индекс -- нулю или единице).

Как я понимаю, скажем, во втором примере можно было бы вместо $D_m^{i_m}$ написать $D_m^{m_i}$, смысл бы не изменился?

То есть в выражении $D_m^{i_m}$ можно считать по выбору, является ли $m$ индексом при $i$, или $i$ индексом при $m$?

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1523816 писал(а):

То есть нижнее $i$ и верхнее $i$ это как бы разные буквы

Когда речь идёт об индексах (= аргументах некоторой функции), то смысл индекса определяется занимаемым им местом, а не нарисованной там закорючкой.

[TOTAL]

Vladimir Pliassov в сообщении #1523816 писал(а):

То есть нижнее $i$ и верхнее $i$ это как бы разные буквы, не связанные по смыслу, которые различаются тем, что при одной из них стоит индекс, а при другой нет?

$i$ и $i_k$ это разные буквы, не связанные по смыслу, которые различаются тем, что при одной из них стоит индекс, а при другой нет.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1523801 писал(а):

Цитата:

Каждое множество вида
$A_1^{i_1}\cap A_2^{i_2}\cap \ldots A_n^{i_n}\;\;\; (i_k=0 \;\; \text {или} \;\; i_k=1 \;\;\; \text {для} \;\; k=1, \ldots, n)$
назовем конституентой.

Если $i$ это общее обозначение номеров множеств $A_1, \ldots, A_n$

В этом отрывке общее обозначение уже $k$: $A_k^{i_k}$.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1523831 писал(а):

В этом отрывке общее обозначение уже $k$: $A_k^{i_k}$.

Неожиданный для меня взгляд, который мне сначала очень понравился. Но потом я увидел, что индексы при $A$ и при $i$ не должны совпадать, аргументы, которые они означают, независимы друг от друга.

Someone в сообщении #1523818 писал(а):

Когда речь идёт об индексах (= аргументах некоторой функции)

В разбираемых примерах подходит либо принцип, когда

TOTAL в сообщении #1523829 писал(а):

$i$ и $i_k$ это разные буквы, не связанные по смыслу,

(то есть как у авторов) либо то, что я предложил:

Vladimir Pliassov в сообщении #1523801 писал(а):

$A_1^{\lambda_1}\cap A_2^{\lambda_2}\cap \ldots A_n^{\lambda_n}$

где $A_i, \lambda_k$

-- и оно мне больше нравится, хотя, как я теперь понял, можно и так, как у авторов.

[tolstopuz]

Vladimir Pliassov в сообщении #1523846 писал(а):

Но потом я увидел, что индексы при $A$ и при $i$ не должны совпадать, аргументы, которые они означают, независимы друг от друга.

Должны.

$$\bigcap_{k=1}^nA_k^{i_k}=A_1^{i_1}\cap A_2^{i_2}\cap\cdots A_n^{i_n}.$$

-- Вт июн 22, 2021 21:39:38 --

Vladimir Pliassov в сообщении #1523846 писал(а):

где $A_i, \lambda_k$

Бессмысленный набор символов.

[Vladimir Pliassov]

tolstopuz в сообщении #1523854 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1523846 писал(а):

Но потом я увидел, что индексы при $A$ и при $i$ не должны совпадать, аргументы, которые они означают, независимы друг от друга.

Должны.

$$\bigcap_{k=1}^nA_k^{i_k}=A_1^{i_1}\cap A_2^{i_2}\cap\cdots A_n^{i_n}.$$

Да, конечно, это же очевидно из формулы, я ошибался, и я рад, что это так, потому что мне очень понравилось, что можно посмотреть так:

tolstopuz в сообщении #1523831 писал(а):

В этом отрывке общее обозначение уже $k$: $A_k^{i_k}$.

Но тут возникает вопрос: $i_k$ это не функция $i$ от $k$, потому что в $A_1^{i_1}\cap A_2^{i_2}\cap \ldots A_n^{i_n}$

Цитата:

$$i_k=0 \;\; \text {или} \;\; i_k=1 \;\;\; \text {для} \;\; k=1, \ldots, n$$

[для каждого значения $k$ это зависит от того, берется для конституенты (основное) множество $A_k^0$ или его дополнение $A_k^1$ ], так что же это: двузначная функция -- и значит, индекс не всегда является аргументом однозначной функции, -- или $2^n$ однозначных функций (то есть столько, сколько конституент)?

[tolstopuz]

Это функция из $\{1\cdots n\}$ в $\{0,1\}$, очевидно, что существует $2^n$ таких функций.