Найти эл.поле при плотности заряда ρ(x). ФЛФ II, з-ча 5-4.

[Uchitel'_istorii]

Условие английское:

png писал(а):

5-4. Find the general formula for the $x$ component of the electric field if the charge density $\rho$ varies only with $x$ throughout all space.

Условие русское :

(Google Translate) писал(а):

5-4. Найдите общую формулу для $ x $ компоненты электрического поля, если плотность заряда $ \rho $ изменяется только с $ x $ во всем пространстве.

Решение 1965:

png писал(а):

5.4. Рассмотрим бесконечно тонкий слой, заключенный между двумя параллельными плоскостями, перпендикулярными оси $x$ и расположенными друг от друга на расстоянии $dx$. Из условия задачи ясно, что электрическое поле будет направлено вдоль оси х. Если в качестве гауссовой пэверх- ности выбрать любой цилиндрик, основаниями которого являются площадки $S$ на плоскостях, а его боковая поверх- ность перпендикулярна этим плоскостям, то, применяя тео- рему Гаусса, найдем
$SE(x+dx) - SE(x) = \tfrac{\rho(x)}{\epsilon_0} S dx$
Разлагая в ряд левую часть этого равенства и оставляя лишь наибольшие члены, находим уравнение для $E(x)$:
$\tfrac{dE}{dx}=\tfrac{\rho(x)}{\epsilon_0} $
Интегрируя это уравнение, получаем искомый ответ
$E(x) = \tfrac{1}{\epsilon_0} \int \rho(x) dx$

Решение 1978:

png писал(а):

5.4. В соответствии с первым уравнением Максвелла имеем $\nabla \cdot \mathbf E = \rho(x)/\epsilon_0$. Из условия задачи ясно, что электрическое поле будет направлено вдоль оси $x$ и зависеть только от $x$. Следовательно, уравнение для $E(x)$ имеет вид
$\tfrac{dE}{dx}=\tfrac{\rho(x)}{\epsilon_0} $
Интегрируя это уравнение, получаем искомый ответ
$E(x) = \tfrac{1}{\epsilon_0} \int \rho(x) dx$

Мое решение:
Согласно формулы (5.3) поле бесконечного листа :
$E=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}$
Необходимо проинтегрировать слои поверхностной плотностью заряда $\sigma(x) = \rho(x)dx$, перпендикулярные оси $x$:
$E_x (x_0) = \int_{-\infty}^{x_0} \tfrac{\rho(x)dx}{2\epsilon_0} - \int_{x_0}^{+\infty} \tfrac{\rho(x)dx}{2\epsilon_0} $.

В решебниках нашли изменение поля между двумя точками, а не поле в точке. Поэтому ответы не совпадают?

[realeugene]

Uchitel'_istorii в сообщении #1523686 писал(а):

В решебниках нашли изменение поля между двумя точками, а не поле в точке. Поэтому ответы не совпадают?

В решебнике неопределённый интеграл, а у вас - определённый. Вы не учитываете краевое условие - поле на бескуонечности. Которое может быть произвольным, хоть это и несколько нефизично, равно как и нефизичны бесконечные заряженные плоскости. Так как оно может быть произвольным, достаточно решения в виде неопределённого интеграла, подразумевая, что в конкретном решении нужно добавить константу.

[Uchitel'_istorii]

После прочтения решебника возник вопрос к отсутствию $2$ в знаменателе.
Если посчитать разность полей в точках $x_0$, $x_1$, как хотят авторы решебника , то вроде сходится:

$ E_x (x_1) - E_x (x_0) = (\int_{-\infty}^{x_1} \tfrac{\rho(x)dx}{2\epsilon_0} - \int_{x_1}^{+\infty} \tfrac{\rho(x)dx}{2\epsilon_0}) - (\int_{-\infty}^{x_0} \tfrac{\rho(x)dx}{2\epsilon_0} - \int_{x_0}^{+\infty} \tfrac{\rho(x)dx}{2\epsilon_0} )$.

Используя $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\text{d}x - \int_{x_0}^{x_1}f(x)\text{d}x= \int_{-\infty}^{x_0}f(x)\text{d}x + \int_{x_1}^{+\infty}f(x)\text{d}x$:

$\Delta E_x= \int_{-\infty}^{+\infty}\tfrac{\rho(x)dx}{2\epsilon_0} - \int_{x_1}^{x_0}\tfrac{\rho(x)dx}{2\epsilon_0} - (\int_{-\infty}^{+\infty}\tfrac{\rho(x)dx}{2\epsilon_0} - \int_{x_0}^{x_1}\tfrac{\rho(x)dx}{2\epsilon_0})$

$= - \int_{x_1}^{x_0}\tfrac{\rho(x)dx}{2\epsilon_0} + \int_{x_0}^{x_1}\tfrac{\rho(x)dx}{2\epsilon_0} = 2\int_{x_0}^{x_1}\tfrac{\rho(x)}{2\epsilon_0}\text{d}x $