корректность в расчетах гравиполя тел

[Padawan]

(Оффтоп)

realeugene в сообщении #1523467 писал(а):

Для представления в виде интеграла этого свойства достаточно.

То есть Вы хотите сказать, что линейный функционал обязательно имеет вид $\rho(x)\mapsto\int f(x)\rho(x)dx$. Не думаю, что это так. Нужно условие непрерывности функционала как минимум. Хотя к физике все это отношения не имеет. Поэтому проще интеграл постулировать. А то получается не совсем честно. Поэтому, я например, Ландау Лифшица читать не могу. Везде у него такие натяжки, причем ещё сопровождаемые словами "как известно" и "очевидно".

[realeugene]

Padawan в сообщении #1523471 писал(а):

То есть Вы хотите сказать, что линейный функционал

Нет, конечно. Я писал про линейность при разбиении по пространству. Которую правильнее назвать аддитивностью, конечно. Я вообще не рассматривал линейные функционалы, даже непрерывные.

Есть более тривиальные заморочки, конечно: если извращаться, никто не мешает задать плотность неинтегрируемой функцией. И объявить: "вот видите, ничего же не получается". Это всё, действительно, крайне далеко от физики. Да, физики постоянно игнорируют всякие математические экзотические случаи, которые им не интересны.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1523438 писал(а):

Математически - никак

Можно и математически. Хотя не совсем элементарно. Все просто: разложим потенциал по сферическим гармоникам и будем решать уравнение Лапласа. Из симметрии ясно, что от формы тела могут зависеть только высшие гармоники. А они убывают на бесконечности быстрее, чем сферически симметричная гармоника .

Хотя нормальные физики не занимаются доказательствами того, что и так очевидно. Но если у кого-то нет более содержательных занятий...

И еще. Физически правильный ответ, конечно, совсем другой: это так, потому что иначе бы траектории планет не рассчитывались бы правильно, космические аппараты не летали бы правильно и т.д.

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1523481 писал(а):

разложим потенциал по сферическим гармоникам и будем решать уравнение Лапласа.

Это эквивалентно утверждению: "Запишем решение уравнения Пуассона в виде

$$\varphi(r)=\int\frac{\rho(r')}{|r-r'|}dr'$$

и разложим $\frac{1}{|r-r'|}$ по степеням $r'$" (мультипольное разложение). То есть, интеграл тут через заднее крыльцо все равно пробирается. Но я категорически согласен с тем, что для физики это чистая схоластика.

[Geen]

А давайте вспомним MOND, или даже возьмём что-нибудь более экзотическое, типа $\alpha(r)m+\beta(r)m^2$...

[realeugene]

Geen в сообщении #1523500 писал(а):

А давайте вспомним MOND, или даже возьмём что-нибудь более экзотическое, типа $\alpha(r)m+\beta(r)m^2$...

Да и в обычной ОТО это всё уже не до конца работает. Просто, в масштабах даже Солнца поправки к ньютоновской гравитации получаются мизерные. А галактический центр от нас далеко.

[mihail2102]

DimaM в сообщении #1523395 писал(а):

Посчитал я для куба, заряд $q$, ребро $2L$, на прямой, проходящей через центр грани перпендикулярно ей, на расстоянии $h>L$ от центра куба. Вводя, вслед за ТС, $n=h/L$, получаем с помощью Wolfram Alpha

$$E=\frac{q}{4L^2}\ln\left(\frac{\sqrt{(n-1)^2+1}+1}{\sqrt{(n+1)^2-1}-1}\cdot\frac{\sqrt{(n+1)^2+1}-1}{\sqrt{(n+1)^2+1}+1}\right).$$

Вот этот интеграл, вы получили посредством арксинуса, или арктангенса? То есть меня интересует, каким образом обоснован выбор одного или другого направления интегрирования?
И разумеется, я согласен с мнением о том, что любая оценка отношения поля куба к полю шара, при помощи предложенного алгоритма, НЕ ПРАВОМЕРНА.
Поле куба отличается от поля шара на любом расстоянии. На сколько, вот в этом вопрос. Поле куба на "больших" расстояния больше поля шара. Понятие "бесконечность", это условное понятие. Скажем, если определяется поле звезды на галактических расстояниях, то эти расстояния можно считать "бесконечностью"? Это к тому, что при расчете полей надо делать оценки погрешности за счет метода интегрирования.

[realeugene]

mihail2102 в сообщении #1523578 писал(а):

На сколько, вот в этом вопрос.

То есть, смысл обозначения "o-малое" вам всё-таки не знаком. Начните с повторения матанализа, он вам необходим, чтобы рзобраться в поднятом вами вопросе. Смысл предельных переходов и рядов Тейлора нужно чувствовать на кончиках паальцев. Интегрирование - это уже следующий семестр.

mihail2102 в сообщении #1523578 писал(а):

Это к тому, что при расчете полей надо делать оценки погрешности за счет метода интегрирования.

Нет, не нужно. В этом математический смысл интегрирования. Результат получается точным и не зависимым от того, режете вы пространство на кубики или шарики с заполненными промежутками..

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1523484 писал(а):

уравнения Пуассона

Я говорил про Лапласа, а не Пуассона. Так что интеграла нет Но это все действительно схоластика. Просто ни о чем поболтать от скуки Именно так нужно воспринимать всю эту ветку.

[mihail2102]

realeugene в сообщении #1523581 писал(а):

mihail2102 в сообщении #1523578 писал(а):

Это к тому, что при расчете полей надо делать оценки погрешности за счет метода интегрирования.

Нет, не нужно. В этом математический смысл интегрирования. Результат получается точным и не зависимым от того, режете вы пространство на кубики или шарики с заполненными промежутками..

При интегрировании деталь разбиения должна стремиться к нулю. Но это условие не проходит: материя дискретна. И интегрирование всегда будет давать ПРИБЛИЗИТЕЛЬНЫЙ результат.
Например, при помощи интегрирования доказывается, что поле внутри гравитирующей сферы равно нулю. Но это верно при условии НЕПРЕРЫВНОСТИ массы сферы, то есть при условии стремления детали разбиения к нулю и распространения свойств(например плотности) на эту деталь разбиения. Но при дискретности материи это условие не выполнится. А из этого следует, что поле внутри сферы НЕ РАВНО НУЛЮ, а отличается от нуля. На сколько это уже другой вопрос.
По поводу шариков... Например будем загонять массу не в шарик, как это делается обычно, а в цилиндр равной массы. То есть все тело, гравитацию которого определяют, разбивается на кубики, а потом всю массу загоняют в элементарный цилиндр. Такое ведь можно представить. То, реальное поле такой преобразованной массы будет строго больше поля определенного по кубикам. Так на основании чего, загоняя массу в шарик(элементарный) мы должны считать, полученное значение поля точным значением?

[realeugene]

mihail2102 в сообщении #1523592 писал(а):

Но это условие не проходит: материя дискретна

Займитесь физикой, а не дурацкой философией. В ньютоновской гравитации материя непрерывна. И это работает.

Вы когда и где изучали матанализ? С ним у вас дыра. Повторяйте математику.

mihail2102 в сообщении #1523592 писал(а):

НЕПРЕРЫВНОСТИ

И не орите.

[sergey zhukov]

mihail2102 в сообщении #1522865 писал(а):

Некорректность этого алгоритма заключается в том, что действие массы кубика заменяется действием шарика равной массы с кубиком и вписанным в этот кубик

По моему, кубик заменяется не на шарик, а на массивную точку. И нужно только показать, что можно поместить эту точку в любое место кубика (угол, ребро, грань, центр), и интегральный результат в пределе от этого выбора не зависит. Но это если мы считаем за экспериментальный факт, что "массивные точки притягиваются по закону $\frac{1}{r^2}$ "
Если это за экспериментальный факт не считать (массивных точек мы не имеем), тогда можно за такой факт принять, что "шары притягиваются с силой, зависящей только от их массы и расстояния между их центрами, но не от их радиуса". Отсюда, устремляя радиусы шаров в нулю, получаем те же массивные точки.
Если же ни первый, ни второй факт не считать экспериментальным, то что тогда вообще утверждает закон притяжения Ньютона и к каким случаям он вообще применим?

[reterty]

Уважаемый mihail2102! Что инфинитезимальный кубик, что инфинитезимальная обезьянка дают на любом конечном расстояние одно и тоже поле. Кстати, а Вы не задумывались над тем, что кубик используется лишь в декартовой СК? В цилиндрической елементарный обьем имеет другую форму. А при интегрировании получется то же поле. Это вопрос лишь удобства...

[DimaM]

mihail2102 в сообщении #1523578 писал(а):

Вот этот интеграл, вы получили посредством арксинуса, или арктангенса? То есть меня интересует, каким образом обоснован выбор одного или другого направления интегрирования?

Если вычисления проделаны правильно, результат от выбора направления не зависит. Если у вас зависит - вы где-то делаете ошибку.
Если вы покажете свои выкладки, возможно, общими усилиями мы сумеем найти ошибку. Если продолжите долдонить "мнение" - тема вскоре уедет в Пургаторий. Я так думаю (с).

[mihail2102]

Напряженность гравитационного поля куба, равномерной плотности $\rho_k$,на расстоянии $R$, от центра масс куба до контрольной точки, вдоль линии соединяющей контрольную точку и центр масс, проходящей через геометрический центр грани куба, вычисляем по формуле:

$$E=\int\limits_{-R_1}^ {+R_1}\int\limits_{-R_1}^ {+R_1}\int\limits_{-R_1}^{+R_1}{\frac{\rho_k G (R-z) dx dy dz}{(x^2+y^2+(R-z)^2)^{3/2}}}$$

где:$R_1$ -полуребро куба. $G$- гравитационная постоянная.