"Неравенство Йенсена в точке"

[Mikhail Sokolov]

Пусть $f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}$ - измеримая функция. Предположим, что для любой ограниченной случайной величины $X$ с $\mathbf{E}[X]=0$ имеет место неравенство $\mathbf{E}[f(X)]\geq 0$. Следует ли из этого, что найдется константа $c$, такая, что $f(x)\geq cx$ для любого $x$?

Спасибо.

[Narn]

Или я чего-то не понимаю, или $f(x)=\sqrt{|x|}$ дает отрицательный ответ на вопрос.

[bubu gaga]

А ограничения на $c$ есть?

[Mikhail Sokolov]

Narn Эта функция неотрицательная, значит удовлетворяет неравенству с константой $c=0$.
bubu gaga Ограничений на $c$ нет.

Но, похоже, в этой задаче нет ничего интересного (как мне сперва показалось). Это, грубо говоря, неравенство Йенсена в точке.

[Mikhail Sokolov]

Доказать утверждение, наверное, можно следующим образом. Проверьте, пожалуйста.
1. Если найдется константа $c$, о которой идет речь в утверждении, то $\mathbb{E}[f(X)]\geq c\mathbb{E}[X]=0$.
2. Пусть такой константы не существует. Определим $c_1=\inf \{f(x)/x, x>0\}$, $c_2=\sup \{f(x)/x, x<0\}$. В силу предположения, $c_1<c_2$. Возьмем произвольное $c'\in (c_1,c_2)$. Найдутся числа $x_1<0$ и $x_2>0$, такие, что $f(x_1)<c'x_1$ и $f(x_2)<c'x_2$. Рассмотрим бинарную случайную величину $X$, принимающую значения $x_1$, $x_2$ с вероятностями $p=\frac{x_2} {(x_2-x_1)}$ и $1-p=\frac{-x_1} {(x_2-x_1)}$, соответственно. Тогда $\mathbb{E}[X]=0$, но $\mathbb{E}[f(X)]=f(x_1)\frac{x_2} {(x_2-x_1)}+f(x_2)\frac{-x_1} {(x_2-x_1)}<c'x_1\frac{x_2} {(x_2-x_1)}+c'x_2\frac{-x_1} {(x_2-x_1)}=0$.