Диэлектрическая жидкость в магнитном поле

[profilescit]

Диэлектрическая жидкость течет по тонкостенной не проводящей трубе радиусом $R$ с постоянной скоростью $v$. Труба помещена в постоянное однородное магнитное поле $B$, перпендикулярное оси трубы. Диэлектрическая проницаемость жидкости $\varepsilon$.
Найдите электрическое поле $\vec{E}$ , вектор поляризации $\vec{P}$ внутри жидкости и распределение плотности зарядов $\sigma$ по поверхности жидкости в радиальном сечении.

Внутри трубы электрическое поле будет однородным, $\vec{E} = \vec{v} \times \vec{B}$ и соответственно $\vec{P} = \varepsilon \vec{v} \times \vec{B}$

А вот что делать с распределением плотности зарядом в сечении - не знаю...
Будет ли справедливо что это сводится к нахождению такого распределения заряда, что в итоге оно даст однородное электрическое поле?

[amon]

profilescit в сообщении #1522835 писал(а):

Внутри трубы электрическое поле будет однородным, $\vec{E} = \vec{v} \times \vec{B}$

С чего вдруг?

[profilescit]

Попытался взять какой-либо отрезок жидкости в сечении.
$E l = B v l$ где $l$ это длина этого отрезка.

[AnatolyBa]

profilescit в сообщении #1522835 писал(а):

$\vec{E} = \vec{v} \times \vec{B}$

Это было бы верно, если бы вы знали, что в исходной системе отсчета напряженность равна нулю, а так ли это?

[profilescit]

AnatolyBa в сообщении #1522840 писал(а):

Это было бы верно, если бы вы знали, что в исходной системе отсчета напряженность равна нулю, а так ли это?

Видимо нет... Получается надо добавить поле из исходной системы отсчета, а с этим трудности. Подскажите к чему присмотреться.

[AnatolyBa]

Ну, я бы перешел в систему отсчета, где жидкость неподвижна. $B$ это внешнее поле, оно как-то преобразуется при пероходе в (медленно) движущуюся систему отсчета. Знаете ли вы как?

[profilescit]

AnatolyBa в сообщении #1522891 писал(а):

Знаете ли вы как?

Если я не ошибаюсь то $\vec{B'} = \vec{B} - \frac{\vec{v}}{c^2} \times \vec{E}$ где $\vec{B}$ и $\vec{E}$ это в исходной системе отсчета

[DimaM]

profilescit в сообщении #1522896 писал(а):

Если я не ошибаюсь то $\vec{B'} = \vec{B} - \vec{v} \times \vec{E}$ где $\vec{B}$ и $\vec{E}$ это в исходной системе отсчета

Вам нужно $\vec{E}'$.

[profilescit]

DimaM в сообщении #1522898 писал(а):

Вам нужно $\vec{E}'$.

$\vec{E'} = \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}$

[DimaM]

profilescit
Ну вот, у вас неподвижный диэлектрик в таком электрическом поле.

[profilescit]

DimaM в сообщении #1522903 писал(а):

Ну вот, у вас неподвижный диэлектрик в таком электрическом поле.

Но ведь все еще не понятно как найти электрическое поле в исходной системе отсчета...

[DimaM]

profilescit в сообщении #1522908 писал(а):

Но ведь все еще не понятно как найти электрическое поле в исходной системе отсчета...

Неподвижный диэлектрик в однородном электрическом поле поляризуется - найдете вектор поляризации и поляризационные заряды на поверхности. Потом переходите обратно - однородное поле исчезает и остается поле от этих зарядов.

[profilescit]

DimaM
верно ли тогда что $\vec{P} = (\varepsilon - 1) \varepsilon_0 (\vec{E} + \vec{v} \times {\vec{B}})$
$\sigma$ $=$ $\vec{P} \cdot \vec{n} = (\varepsilon - 1) \varepsilon_0 \left\lvert \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}\right\rvert$

а значит $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ ?

[DimaM]

profilescit в сообщении #1522915 писал(а):

верно ли тогда что $\vec{P} = (\varepsilon - 1) \varepsilon_0 (\vec{E} + \vec{v} \times {\vec{B}})$

Нет. $\vec{P} = (\varepsilon - 1) \varepsilon_0 \vec{E}'$, где $\vec{E}'$ - (однородное) поле внутри диэлектрика.
Нужно опять-таки рассмотреть задачу о диэлектрическом цилиндре во внешнем однородном поле. Снаружи получается однородное + поле двумерного диполя, внутри - однородное (но другое). На границе непрерывны тангенциальная компонента поля и нормальная компонента индукции. Формула получится подобной вашей, но с коэффициентом.

Цитата:

math]$\sigma$[/math] $=$ $\vec{P} \cdot \vec{n} = (\varepsilon - 1) \varepsilon_0 \left\lvert \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}\right\rvert$
а значит $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ ?

Так направление нормали в разных местах поверхности цилиндра разное.

[profilescit]

DimaM поле в диэлектрике будет $\frac{\vec{E}}{\varepsilon}$ а значит $\vec{P} = \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon} \varepsilon_0(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$

Соответственно $\sigma = \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon} \varepsilon_0 \left\lvert \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \right\rvert \cos{\theta} = \sigma_0 \cos{\theta}$

А поле внутри диэлектрика на поверхности которого такое распределение зарядов будет $E = \frac{\sigma_0}{3 \varepsilon \varepsilon_0}$ откуда можно получить напряженность $E$?