Главные кривизны и линии кривизны

[misha.physics]

Здравствуйте.
1) Есть система относительно главного направления $(\xi:\eta)$:

$$\left\{ \begin{array}{lll} (L-kE)\xi+(M-kF)\eta=0,\\ (M-kF)\xi+(N-kG)\eta=0,\\ \end{array} \right.$$

где $k$ - главная кривизна в направлении $(\xi:\eta)$.
Мне не совсем понятен второй пункт в книге, где рассматривается случай, когда квадратное уравнение, являющееся определителем из коэффициентов системы имеет два совпадающих корня для $k$, то есть $k_1=k_2=k$. Понимаю, что в точке регулярной поверхности есть хотя бы два различных главных направления, то есть, можно выбрать хотя бы два линейно независимых решения $\xi_1,\eta_1$ и $\xi_2,\eta_2$. Далее пишет, что это возможно лишь тогда, когда все коэффициенты системы равняются нулю. Вот этот вывод непонятен.

Я могу понять так: функция нормальной кривизны от направления в данной точке либо достигает одного минимума и максимума, либо постоянна. Если она постоянна, то это как раз и означает, что квадратное уравнение для кривизны дает два совпадающие корни. Значит в этом случае любое направление будет главным. Беря направления $(\xi_1:0)$ и $(0,\eta_2)$ можно получить что все коэффициенты системы равны в этом случае нулю.

Но мне интересно, можно ли это доказать имея только два любых линейно независимых решения для $(\xi:\eta)$, а не выбирая специальных направлений (фактически направлений координатных линий)? То есть, как я понимаю, вопрос сводиться к линейной алгебре, у нас есть система

$$\left\{ \begin{array}{lll} ax+by=0,\\ bx+cy=0,\\ \end{array} \right.$$

можно ли доказать, что если она имеет два линейно независимых решения, то $a=b=c=0$? Важно ли здесь, что в первом и втором уравнении есть повторяющийся коэффициент $b$?

Я ещё пробовал приравнять к нулю дискриминант квадратного уравнения для кривизны (поскольку в этом случае $k_1=k_2=k$). Это дает некую связь между коэффициентами первой и второй квадратичных форм, но я не знаю, как это использовать при доказательстве вышеупомянутого факта и важно ли это здесь.

2) Есть дифференциальное уравнение линий кривизны:

$$Adu^2+2Bdudv+Cdv^2=0,$$

где $A$, $B$, $C$ - некоторые обозначения комбинаций из коэффициентов квадратичных форм поверхности. Далее говориться, что поскольку есть два главных направления, то квадратный трехчлен

$$A+2B\lambda+C\lambda^2$$

имеет два разных вещественных корня (рассматривается случай, когда нет точек уплощения и округления), то есть $AC-B^2<0$. Тогда дифференциальное уравнение можно записать как систему

$$\left\{ \begin{array}{lll} Adu+(B+\sqrt{B^2-AC})dv=0,\\ Adu+(B-\sqrt{B^2-AC})dv=0.\\ \end{array} \right.$$

Я пробовал получить это так: нашёл корни $\lambda_1$ и $\lambda_2$ из квадратного уравнения и записал $C(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)=0$. Потом написал, что каждая скобка равна нулю, думая, что это и будет искомая система дифференциальных уравнений первого порядка, получил:

$$\left\{ \begin{array}{lll} Cdv+(B+\sqrt{B^2-AC})du=0,\\ Cdv+(B-\sqrt{B^2-AC})du=0,\\ \end{array} \right.$$

то есть не совпало, хотя что-то близкое. Но я не уверен что так должно быть, например почему мы приравниваем к нулю обе скобки если достаточно только одной.

[Padawan]

misha.physics в сообщении #1522755 писал(а):

у нас есть система

$$\left\{ \begin{array}{lll} ax+by=0,\\ bx+cy=0,\\ \end{array} \right.$$

можно ли доказать, что если она имеет два линейно независимых решения, то $a=b=c=0$?

Да. Она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю, то есть строки линейно зависимы. Ну и если уравнению $ax+by=0$ удовлетворяют два линейно независимых вектора $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, то $a=b=0$.

misha.physics в сообщении #1522755 писал(а):

Важно ли здесь, что в первом и втором уравнении есть повторяющийся коэффициент $b$?

Нет.

[svv]

misha.physics в сообщении #1522755 писал(а):

получил:

$$\left\{\begin{array}{lll}Cdv+(B+\sqrt{B^2-AC})du=0,\\Cdv+(B-\sqrt{B^2-AC})du=0,\\\end{array}\right$$

то есть не совпало, хотя что-то близкое.

Сейчас совпадёт. Первое уравнение домножьте на $B-\sqrt{B^2-AC}$, а второе на $B+\sqrt{B^2-AC}$. В обоих уравнениях образуется произведение
$(B-\sqrt{B^2-AC})(B+\sqrt{B^2-AC})=B^2-(B^2-AC)=AC$,
и эти страшные коэффициенты с корнями теперь окажутся не при $du$, а при $dv$, как и требуется.
Потом каждое из уравнений разделите на $C$.

[misha.physics]

Padawan в сообщении #1522760 писал(а):

Ну и если уравнению $ax+by=0$ удовлетворяют два линейно независимых вектора $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, то $a=b=0$.

Точно, спасибо. Действительно, отношение корней равно отношеню коэффициентов, значит отношение новых корней будет равно отношению старых корней, т.е. решения линейно зависимы.

[misha.physics]

svv в сообщении #1522768 писал(а):

Сейчас совпадёт.

Спасибо, получилось. А то, что уравнений два это для каждой из двух линий кривизны как я понял.