Здравствуйте.
1) Есть система относительно главного направления

:

где

- главная кривизна в направлении

.
Мне не совсем понятен второй пункт в книге, где рассматривается случай, когда квадратное уравнение, являющееся определителем из коэффициентов системы имеет два совпадающих корня для

, то есть

. Понимаю, что в точке регулярной поверхности есть хотя бы два различных главных направления, то есть, можно выбрать хотя бы два линейно независимых решения

и

. Далее пишет, что это возможно лишь тогда, когда все коэффициенты системы равняются нулю. Вот этот вывод непонятен.
Я могу понять так: функция нормальной кривизны от направления в данной точке либо достигает одного минимума и максимума, либо постоянна. Если она постоянна, то это как раз и означает, что квадратное уравнение для кривизны дает два совпадающие корни. Значит в этом случае любое направление будет главным. Беря направления

и

можно получить что все коэффициенты системы равны в этом случае нулю.
Но мне интересно, можно ли это доказать имея только два любых линейно независимых решения для

, а не выбирая специальных направлений (фактически направлений координатных линий)? То есть, как я понимаю, вопрос сводиться к линейной алгебре, у нас есть система

можно ли доказать, что если она имеет два линейно независимых решения, то

? Важно ли здесь, что в первом и втором уравнении есть повторяющийся коэффициент

?
Я ещё пробовал приравнять к нулю дискриминант квадратного уравнения для кривизны (поскольку в этом случае

). Это дает некую связь между коэффициентами первой и второй квадратичных форм, но я не знаю, как это использовать при доказательстве вышеупомянутого факта и важно ли это здесь.
2) Есть дифференциальное уравнение линий кривизны:

где

,

,

- некоторые обозначения комбинаций из коэффициентов квадратичных форм поверхности. Далее говориться, что поскольку есть два главных направления, то квадратный трехчлен

имеет два разных вещественных корня (рассматривается случай, когда нет точек уплощения и округления), то есть

. Тогда дифференциальное уравнение можно записать как систему

Я пробовал получить это так: нашёл корни

и

из квадратного уравнения и записал

. Потом написал, что каждая скобка равна нулю, думая, что это и будет искомая система дифференциальных уравнений первого порядка, получил:

то есть не совпало, хотя что-то близкое. Но я не уверен что так должно быть, например почему мы приравниваем к нулю обе скобки если достаточно только одной.