Назовем примарными элементами множества элементы, которые сами не являются множествами
Такие элементы обычно называются атомами. Иногда их удобно иметь, но тогда их совокупность нужно определить. В стандартных теориях множеств, таких, как ZFC или NBG, атомов нет, и все элементы являются множествами, а все множества являются элементами. При этом ничего не теряется, а всё, что можно сделать в теории с атомами, можно сделать и без них.
В современной математике множества, являющиеся элементами самих себя, "запрещены" (вводится специальная аксиома, говорящая, что они не существуют). Запрещены, в частности, потому, что чреваты парадоксами.
Ну нет, причина "запрета" совсем другая. Дело в том, что если у нас теория противоречивая, то нельзя избавиться от противоречий, добавляя новые аксиомы: новая аксиома — это дополнительное средство доказательства, и всё, что можно доказать без неё, можно доказать и с ней (просто не употребляйте её). Причиной противоречий в первоначальной "наивной" теории множеств был так называемый неограниченный принцип свёртывания Фреге, который утверждал, что каждое свойство определяет множество элементов, обладающих этим свойством. В ZFC этого принципа, естественно, нет, а вместо него есть аксиома выделения и более сильная аксиома подстановки (другое название — аксиома замены; конечно, она сильнее не принципа Фреге, а аксиомы выделения, и была введена позже аксиомы выделения, поскольку та оказалась недостаточной для формализации некоторых стандартных математических рассуждений).
Множества, являющиеся собственными элементами, запрещены аксиомой регулярности (другое название — аксиома фундирования): если
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
— непустое множество, то существует такой элемент
![$y\in x$ $y\in x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/4/674366cb21e66491f9dc196cb83722da82.png)
, что
![$x\cap y=\varnothing$ $x\cap y=\varnothing$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/a/7dac3c792c4613e577bdd13b6ed036a882.png)
. Появилась она заметно позже других аксиом, и, разумеется, не для того, чтобы запретить множеству быть своим элементом. Просто она полезна для доказательств, и "устройство" множеств с этой аксиомой выглядит более упорядоченным, а множества, принадлежащие "самому себе", как будто бы никому не нужны. Во всяком случае, я не слышал ни о каких содержательных применениях таких множеств. Разумеется, если кому-нибудь такие множества понадобятся — ради бога. Выкидывайте аксиому регулярности (вместе со всеми опирающимися на неё теоремами) и изучайте. Но построить такое множество, используя остальные аксиомы теории множеств, невозможно, так что существование множества, удовлетворяющего условию
![$x\in x$ $x\in x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/3/153c1079428c4be4aa89bf7ab6e7061882.png)
, нужно просто принять за аксиому.
Все аксиомы ZFC "выводятся" из представления о том, что все множества можно построить "по шагам".
Первоначально у нас ничего нет, поэтому на первом шаге мы можем построить только пустое множество
![$\varnothing=\{\}$ $\varnothing=\{\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/0/c20715c7f7934f68e8ce0b9be3def70a82.png)
. На втором шаге у нас есть один элемент
![$\varnothing$ $\varnothing$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/7/027e4f6240ef037b4e6e1348274b505282.png)
, поэтому мы можем построить множество
![$\{\varnothing\}$ $\{\varnothing\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/1/d1185cfc0dc6f70f7686eb322f5ba6d782.png)
. На третьем шаге у нас есть два элемента
![$\varnothing$ $\varnothing$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/7/027e4f6240ef037b4e6e1348274b505282.png)
и
![$\{\varnothing\}$ $\{\varnothing\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/1/d1185cfc0dc6f70f7686eb322f5ba6d782.png)
, и мы можем построить ещё некоторые множества. И так далее.
Перед каждым шагом у нас есть совокупность уже выполненных шагов. На новом шаге мы можем построить всевозможные множества из тех элементов, которые были построены на предыдущих шагах (включая сюда и множества, построенные на предшествующих шагах).
Вообще говоря, не для каждой совокупности шагов следует шаг "после" всех этих шагов. Но мы можем считать, что такой шаг заведомо существует в следующих случаях:
1) совокупность состоит из одного шага (не обязательно первого);
2) совокупность шагов представляет собой бесконечную последовательность, занумерованную всеми натуральными числами;
3) у нас есть некоторое (уже построенное) множество
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
, для каждого
![$y\in x$ $y\in x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/4/674366cb21e66491f9dc196cb83722da82.png)
существует некоторый (уже выполненный) шаг
![$S_y$ $S_y$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/1/2718d57f28e4fc30337737c3155be4e082.png)
, и совокупность шагов состоит из всех шагов
![$S_y$ $S_y$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/1/2718d57f28e4fc30337737c3155be4e082.png)
,
![$y\in x$ $y\in x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/4/674366cb21e66491f9dc196cb83722da82.png)
.
Например, то, что множество не может быть своим элементом, следует просто из того, что элементы множества должны быть построены раньше самого множества, поэтому в момент построения множества оно ещё не существует и не может быть использовано в качестве элемента.
Но это всё неформализуемо, и является просто "философским" обоснованием аксиом ZFC.
В формальном виде существует очень похожая конструкция доказательства совместности аксиомы регулярности и аксиомы выбора с остальными аксиомами. Пусть имеется некоторая модель теории ZF без аксиомы регулярности и аксиомы выбора. Внутри этой модели строится новая модель, в которой аксиома регулярности и аксиома выбора справедливы.
Построение происходит по шагам. Роль шагов играют ординалы (они могут быть определены и построены без аксиомы регулярности и аксиомы выбора).
На нулевом шаге у нас ничего нет, и мы можем определить только пустое множество. Это означает, что мы можем записать формулу, определяющую множество, но участвующие в этой формуле переменные пробегают не все элементы исходной модели, а только те, которые к этому шагу определены. Перед нулевым шагом у нас ещё ничего не определено, поэтому ничего, кроме пустого множества определить нельзя.
На последующих шагах происходит то же самое: на очередном шаге мы определяем новые множества, используя те, которые были определены на предыдущих шагах, и конструкция проходит по всем ординалам, имеющимся в исходной модели.
Совокупность всех определённых таким образом множеств (они называются конструктивными; на мой взгляд, название неудачное, так как вызывает ложные ассоциации с конструктивной математикой, но можно было бы использовать термин "определимые") удовлетворяет всем аксиомам ZFC, включая аксиому регулярности и аксиому выбора. Кроме того, в этой модели выполняется очень сильная аксиома конструктивности V=L, которая утверждает, что все множества конструктивны. И, как сюрприз, в этой модели верна обобщённая гипотеза континуума, которая утверждает, что для каждого бесконечного кардинала
![$\mathfrak{m}$ $\mathfrak{m}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/d/1cdba7fc3b311e06e2b553d9c593baaa82.png)
между
![$\mathfrak{m}$ $\mathfrak{m}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/d/1cdba7fc3b311e06e2b553d9c593baaa82.png)
и
![$2^{\mathfrak{m}}$ $2^{\mathfrak{m}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/1/f115a600a1f624bb7bace6a427cb699082.png)
нет промежуточных кардиналов. Обобщённая континуум-гипотеза сама по себе является очень сильным утверждением. Например, из неё выводится аксиома выбора.
P.S. Как я вижу,
Vladimir Pliassov усиленно подталкивает тему к псевдофилософским умствованиям на околоматематические темы, регулярно "забывая" то, что ему объясняли ранее. Он явно не является тем, за кого себя выдаёт, поскольку иногда проговаривается, демонстрируя знакомство с достаточно нетривиальными вопросами. Почтенной публике это не надоело?