Множества и объекты

[xagiwo]

Vladimir Pliassov в сообщении #1522482 писал(а):

В жизни получается, что солдат сам себя бреет, но когда мы анализируем это явление логически, то приходим к противоречию -- к парадоксу

Нет, мы приходим к противоречию только если просим солдата "брить всех, кто не бреет себя". Не потому что понятие "неправильное", а потому что такая просьба невыполнима. Ясен пень, что солдат может брить себя если захочет, и никакие рассуждения этого не изменят

[Vladimir Pliassov]

Да, правда,

xagiwo в сообщении #1522486 писал(а):

мы приходим к противоречию только если просим солдата "брить всех, кто не бреет себя".

Спасибо, я там переделал.

Но, что касается того, что

xagiwo в сообщении #1522486 писал(а):

Не потому что понятие "неправильное", а потому что такая просьба невыполнима

то я именно имею в виду, что понятие неправильное, и оно оставалось бы неправильным, даже если бы пришел приказ "Всем бриться!"

Дело в том, что я полагаю, что когда солдат себя бреет, то он бреет не себя, а

Vladimir Pliassov в сообщении #1522482 писал(а):

свою щеку, к которой в этот момент относится как к другому объекту.

[Mikhail_K]

Vladimir Pliassov в сообщении #1522503 писал(а):

то я именно имею в виду, что понятие неправильное

Вы ошибаетесь. Вообще, что такое "неправильное понятие"? Внутренне противоречивым такое понятие не является, само по себе оно к парадоксам не приводит, всё прочее для математики неважно.

Vladimir Pliassov в сообщении #1522482 писал(а):

Я уже в свое время предложил смотреть на элемент, который умножается сам на себя, как на класс, чтобы избежать принципа действия элемента на самого себя -- topic142176.html .

Это фантазирование/философствование, не имеющее отношения к математике и только создающее трудности на пустом месте. Умножение и вообще любая бинарная операция на любом множестве $X$ - это функция $X\times X\to X$. Декартов квадрат $X\times X$ содержит все упорядоченные пары элементов множества $X$, в т.ч. и те, что содержат совпадающие элементы. Требование, чтобы элементы в паре не совпадали - только усложняет все рассуждения и попросту низачем не нужно. В конце концов, не всегда про два элемента, составляющие пару, вообще известно, совпадают они или нет - но это не должно лишать нас возможности применить к ним бинарную операцию, например, перемножить. Так что это очень странная и вредная идея у Вас.

А "класс, состоящий из равных элементов", который Вы предлагали ввести в той теме, будет попросту состоять из одного элемента, по принципу $\{a,a,a,\ldots\}=\{a\}$ (ведь если элементы равны, то они попросту совпадают) - но тогда неясно, зачем такой класс нужен.

Vladimir Pliassov в сообщении #1522503 писал(а):

Дело в том, что я полагаю, что когда солдат себя бреет, то он бреет не себя, а свою щеку

А когда он бреет другого солдата - он тоже бреет не его, а его щёку? Такие придирки к словам для математики и математического рассуждения нехарактерны.

[xagiwo]

Vladimir Pliassov в сообщении #1522482 писал(а):

и если мы, тем не менее, пытаемся объединить эти две сущности, то приходим к противоречию -- к парадоксу

Не приходим.

Vladimir Pliassov в сообщении #1522503 писал(а):

Дело в том, что я полагаю, что когда солдат себя бреет, то он бреет не себя, а

Так, и что от этого меняется? "А побрей-ка щёчки всех тех, кто сам не бреет свои щёчки" — чем хуже старого парадокса?

[beroal]

Vladimir Pliassov продвигает теорию типов Бертрана Рассела, неужели не понятно?

[Vladimir Pliassov]

Mikhail_K в сообщении #1522507 писал(а):

А "класс, состоящий из равных элементов", который Вы предлагали ввести в той теме, будет попросту состоять из одного элемента, по принципу $\{a,a,a,\ldots\}=\{a\}$ (ведь если элементы равны, то они попросту совпадают) - но тогда неясно, зачем такой класс нужен.

Когда я это писал, я еще не был знаком с теорией множеств (даже в той мере, что сейчас), и сразу не знаю, что ответить, но, может быть, в качестве элементов множества брать эти классы, но как простые элементы? Тогда каждый из них может состоять из скольких угодно элементов, но это остается за пределами теории множеств, в нее они входят уже как простые элементы.

Впрочем, никакая теория не стенка, можно подвинуть.

Mikhail_K в сообщении #1522507 писал(а):

Vladimir Pliassov в сообщении #1522503 писал(а):

Дело в том, что я полагаю, что когда солдат себя бреет, то он бреет не себя, а свою щеку

А когда он бреет другого солдата - он тоже бреет не его, а его щёку?

Здесь это не имеет значения, важно, что он бреет другой объект (а не самого себя).

Mikhail_K в сообщении #1522507 писал(а):

Это фантазирование/философствование, не имеющее отношения к математике и только создающее трудности на пустом месте.

Я же не говорю, что умножая элемент на самого себя, обязательно надо иметь в виду, что на него можно смотреть как на класс. Можно об этом не думать

(то есть сначала представить каждый элемент как класс, чтобы при возведении элемента в степень избежать принципа действия на самого себя, а затем договориться на каждый из этих классов смотреть как на простой элемент, то есть вернуться к представлению, что элементы просты -- но тогда уже будет объяснено, что имеется в виду под тем, что элемент может умножаться сам на себя -- и перестать обо всем этом думать, а просто перемножать элементы как обычно, в том числе и элемент сам на себя)

или вовсе не знать, для самой операции умножения это не имеет значения.

Но что, по-моему, имеет значение, так это то, что принцип "сам себя" не работает, потому и отменили аксиому (о том, что множество может иметь самого себя своим элементом -- как только в голову такое могло прийти!).

-- 13.06.2021, 18:17 --

beroal в сообщении #1522521 писал(а):

Vladimir Pliassov продвигает теорию типов Бертрана Рассела, неужели не понятно?

Цитата:

Рассел считал, что все логические парадоксы, а также и все парадоксы теории множеств сводятся к парадоксу «лжец». Поэтому теория типов строится таким образом, чтобы исключить возможность образования суждений, оборачивающихся на самих себя. http://ponjatija.ru/node/826

Ну вот, видите, значит, не я один об этом думаю!

Правда, дальше в статье написано, что эта теория привела "к возникновению существенных проблем".

[tolstopuz]

(Оффтоп)

Цитата:

Скажи мне, лорд Рассел, что осталось у тебя от дивной поры молодой? Три тома "Principia Mathematica", вымученных за долгие годы. Так вот: спешу сообщить, что Чанг Вэнь или другой какой-нибудь Пинг-Понг - не запоминаю я этих китайских имен - запрограммировал компьютер так, что все доказанное Б.Расселом в его пресловутых "Принципах" машина доказала за восемь минут со средней скоростью самоубийцы, который бросился с девяностого этажа на Юпитере, где, как известно, сила тяжести во столько же раз больше земной, сколько раз домработница господина Тичи ошиблась в счетах из прачечной в свою пользу.

[xagiwo]

Кхм. Я тут написал кое-что для ТСа, но мне нужен ЗУ, чтобы он посмотрел и определил, насколько целесообразно это сюда кидать. Если кто-то за это примется, отпишите здесь (в теме, не в ЛС, чтобы больше одного человека не загружать)

[beroal]

Vladimir Pliassov в сообщении #1522525 писал(а):

Правда, дальше в статье написано, что эта теория привела "к возникновению существенных проблем".

А где нет проблем? В наше время используется наследник теории типов Рассела — теория типов Пера Мартин-Лёфа. Я знаю только вторую. О первой слышал в общих чертах.

Отсутствие противоречий ни в одном фундаменте математики не гарантируется. Так что в статье зря это представляют как «проблему теории типов».

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1522336 писал(а):

Назовем примарными элементами множества элементы, которые сами не являются множествами

Такие элементы обычно называются атомами. Иногда их удобно иметь, но тогда их совокупность нужно определить. В стандартных теориях множеств, таких, как ZFC или NBG, атомов нет, и все элементы являются множествами, а все множества являются элементами. При этом ничего не теряется, а всё, что можно сделать в теории с атомами, можно сделать и без них.

Mikhail_K в сообщении #1522342 писал(а):

В современной математике множества, являющиеся элементами самих себя, "запрещены" (вводится специальная аксиома, говорящая, что они не существуют). Запрещены, в частности, потому, что чреваты парадоксами.

Ну нет, причина "запрета" совсем другая. Дело в том, что если у нас теория противоречивая, то нельзя избавиться от противоречий, добавляя новые аксиомы: новая аксиома — это дополнительное средство доказательства, и всё, что можно доказать без неё, можно доказать и с ней (просто не употребляйте её). Причиной противоречий в первоначальной "наивной" теории множеств был так называемый неограниченный принцип свёртывания Фреге, который утверждал, что каждое свойство определяет множество элементов, обладающих этим свойством. В ZFC этого принципа, естественно, нет, а вместо него есть аксиома выделения и более сильная аксиома подстановки (другое название — аксиома замены; конечно, она сильнее не принципа Фреге, а аксиомы выделения, и была введена позже аксиомы выделения, поскольку та оказалась недостаточной для формализации некоторых стандартных математических рассуждений).

Множества, являющиеся собственными элементами, запрещены аксиомой регулярности (другое название — аксиома фундирования): если $x$ — непустое множество, то существует такой элемент $y\in x$, что $x\cap y=\varnothing$. Появилась она заметно позже других аксиом, и, разумеется, не для того, чтобы запретить множеству быть своим элементом. Просто она полезна для доказательств, и "устройство" множеств с этой аксиомой выглядит более упорядоченным, а множества, принадлежащие "самому себе", как будто бы никому не нужны. Во всяком случае, я не слышал ни о каких содержательных применениях таких множеств. Разумеется, если кому-нибудь такие множества понадобятся — ради бога. Выкидывайте аксиому регулярности (вместе со всеми опирающимися на неё теоремами) и изучайте. Но построить такое множество, используя остальные аксиомы теории множеств, невозможно, так что существование множества, удовлетворяющего условию $x\in x$, нужно просто принять за аксиому.

Все аксиомы ZFC "выводятся" из представления о том, что все множества можно построить "по шагам".
Первоначально у нас ничего нет, поэтому на первом шаге мы можем построить только пустое множество $\varnothing=\{\}$. На втором шаге у нас есть один элемент $\varnothing$, поэтому мы можем построить множество $\{\varnothing\}$. На третьем шаге у нас есть два элемента $\varnothing$ и $\{\varnothing\}$, и мы можем построить ещё некоторые множества. И так далее.
Перед каждым шагом у нас есть совокупность уже выполненных шагов. На новом шаге мы можем построить всевозможные множества из тех элементов, которые были построены на предыдущих шагах (включая сюда и множества, построенные на предшествующих шагах).
Вообще говоря, не для каждой совокупности шагов следует шаг "после" всех этих шагов. Но мы можем считать, что такой шаг заведомо существует в следующих случаях:
1) совокупность состоит из одного шага (не обязательно первого);
2) совокупность шагов представляет собой бесконечную последовательность, занумерованную всеми натуральными числами;
3) у нас есть некоторое (уже построенное) множество $x$, для каждого $y\in x$ существует некоторый (уже выполненный) шаг $S_y$, и совокупность шагов состоит из всех шагов $S_y$, $y\in x$.

Например, то, что множество не может быть своим элементом, следует просто из того, что элементы множества должны быть построены раньше самого множества, поэтому в момент построения множества оно ещё не существует и не может быть использовано в качестве элемента.

Но это всё неформализуемо, и является просто "философским" обоснованием аксиом ZFC.

В формальном виде существует очень похожая конструкция доказательства совместности аксиомы регулярности и аксиомы выбора с остальными аксиомами. Пусть имеется некоторая модель теории ZF без аксиомы регулярности и аксиомы выбора. Внутри этой модели строится новая модель, в которой аксиома регулярности и аксиома выбора справедливы.
Построение происходит по шагам. Роль шагов играют ординалы (они могут быть определены и построены без аксиомы регулярности и аксиомы выбора).
На нулевом шаге у нас ничего нет, и мы можем определить только пустое множество. Это означает, что мы можем записать формулу, определяющую множество, но участвующие в этой формуле переменные пробегают не все элементы исходной модели, а только те, которые к этому шагу определены. Перед нулевым шагом у нас ещё ничего не определено, поэтому ничего, кроме пустого множества определить нельзя.
На последующих шагах происходит то же самое: на очередном шаге мы определяем новые множества, используя те, которые были определены на предыдущих шагах, и конструкция проходит по всем ординалам, имеющимся в исходной модели.
Совокупность всех определённых таким образом множеств (они называются конструктивными; на мой взгляд, название неудачное, так как вызывает ложные ассоциации с конструктивной математикой, но можно было бы использовать термин "определимые") удовлетворяет всем аксиомам ZFC, включая аксиому регулярности и аксиому выбора. Кроме того, в этой модели выполняется очень сильная аксиома конструктивности V=L, которая утверждает, что все множества конструктивны. И, как сюрприз, в этой модели верна обобщённая гипотеза континуума, которая утверждает, что для каждого бесконечного кардинала $\mathfrak{m}$ между $\mathfrak{m}$ и $2^{\mathfrak{m}}$ нет промежуточных кардиналов. Обобщённая континуум-гипотеза сама по себе является очень сильным утверждением. Например, из неё выводится аксиома выбора.

P.S. Как я вижу, Vladimir Pliassov усиленно подталкивает тему к псевдофилософским умствованиям на околоматематические темы, регулярно "забывая" то, что ему объясняли ранее. Он явно не является тем, за кого себя выдаёт, поскольку иногда проговаривается, демонстрируя знакомство с достаточно нетривиальными вопросами. Почтенной публике это не надоело?

[Vladimir Pliassov]

Чтобы разуверить Вас в Вашем чрезвычайно лестном для меня мнении, предлагаю Вашему вниманию следующее:

https://www.youtube.com/watch?v=8IMQPcG3-sY (запись 1996 года).

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1522594 писал(а):

https://www.youtube.com/watch?v=8IMQPcG3-sY (запись 1996 года)

Это ничего не значит.

[Vladimir Pliassov]

Вас трудно убедить.

[Mikhail_K]

Someone

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1522590 писал(а):

Ну нет, причина "запрета" совсем другая. Дело в том, что если у нас теория противоречивая, то нельзя избавиться от противоречий, добавляя новые аксиомы: новая аксиома — это дополнительное средство доказательства, и всё, что можно доказать без неё, можно доказать и с ней (просто не употребляйте её). Причиной противоречий в первоначальной "наивной" теории множеств был

Конечно, Вы правы. Я о том же самом сказал в этом своём уточнении:

Mikhail_K в сообщении #1522408 писал(а):

Сделаю уточнение.

В "наивной" теории множеств, фактически, имеется аксиома, аналогичная современной аксиоме выделения, что для любого одноместного предиката $P$ (т.е. условия, которому каждый объект $x$ может удовлетворять или не удовлетворять), существует множество $\{x\,|\,P(x)\}$ тех и только тех объектов, которые этому условию удовлетворяют. В частности, в качестве условия можно взять $x\in x$ или $x\notin x$, что позволяет говорить о множествах, входящих или не входящих в себя в качестве элемента, о множествах таких множеств, о множестве всех множеств и вообще о множестве всех объектов - всё это ведёт к парадоксам и противоречиям.

В современной аксиоматической теории множеств ZFC аксиома выделения другая: для любого множества $M$ и любого одноместного предиката $P$, существует множество $\{x\in M\,|\,P(x)\}$, включающее не все объекты, удовлетворяющие условию $P$, а только те, которые принадлежат <уже построенному ранее> множеству $M$. В качестве условия $P(x)$ по-прежнему можно взять $x\in x$ или $x\notin x$, однако новая аксиома выделения уже не позволяет говорить о "патологических" множествах типа "множество всех множеств", "множество всех объектов", "множество всех множеств, включающих <или не включающих> себя в качестве элемента", и парадоксы не возникают.

Дополнительно к этой аксиоме выделения, чаще всего вводится дополнительная аксиома регулярности, прямо запрещающая множествам быть элементами самих себя. Сама по себе эта аксиома не спасает от противоречий (спасает от них новая аксиома выделения), но упрощает многие рассуждения.

Если не вдаваться в подробности, сказанное здесь тоже верно:

Mikhail_K в сообщении #1522342 писал(а):

В современной математике множества, являющиеся элементами самих себя, "запрещены" (вводится специальная аксиома, говорящая, что они не существуют). Запрещены, в частности, потому, что чреваты парадоксами.

в смысле, 1) "специальная аксиома" регулярности действительно имеется, и 2) отказались от рассмотрения таких множеств в том числе потому, что они чреваты парадоксами (хотя эти два утверждения и не связаны друг с другом, аксиома от парадоксов не спасает)

[Vladimir Pliassov]

Цитата:

Выше мы показали, что для любого множества $A$ мощность множества функций, заданных на $A$ и принимающих два значения $0$ и $1$, больше, чем мощность самого множества $A$. Это значит, что для любой мощности $m$ выполняется неравенство $2^m > m$. Отметим еще, что $\mathfrak c = 2^{\aleph_0}.$ (Н.Я.Виленкин. "Рассказы о множествах", стр.91 http://ilib.mccme.ru/pdf/rasomn.pdf)

Наверное, вообще, $\mathfrak c = a^{\aleph_0},$ где $a\in \mathbb N, \; a> 1,$ а также $\mathfrak c = \aleph_0^{\aleph_0}?$ Ведь даже $\mathfrak c = \mathfrak c^{\aleph_0}$.