Верно ли учтён дополнительный бросок?

[tonven]

Игроки A и B одновременно n раз кидают монеты.
Игрок A после этого делает ещё один бросок. Какова вероятность, что у него будет "орлов" больше, чем у B?
Конечно, при равенстве "орлов" победа не присуждается никому.
Решение: После n бросков у каждого игрока в среднем будет поровну "орлов" и "решек" - $p=\frac{n}{2}$. И в серии число побед каждого будет одинаковым
Дополнительный бросок даёт вероятность "орла" $\frac{1}{2}$. Можно ли эту вероятность приписать всей серии?
При $n=0$ это явно верно. Но при $n=1000$ что-то одолевают сомнения.

[мат-ламер]

tonven в сообщении #1522444 писал(а):

Решение: После n бросков у каждого игрока в среднем будет поровну "орлов" и "решек"

Этот момент я не понял. Не могли бы вы пояснить его подробнее?

[tonven]

мат-ламер
Монеты симметричны относительно центра тяжести. Если кинуть монету $1000$ раз, то статистически можно ожидать, что будет $500$ "орлов" и $500$ "решек". Т.е. $p_o=p_r=\frac{1}{2}$

[мат-ламер]

tonven в сообщении #1522447 писал(а):

Если кинуть монету $1000$ раз, то статистически можно ожидать, что будет $500$ "орлов" и $500$ "решек".

И это не понял. Сдаёте экзамен по теории вероятности?

-- Вс июн 13, 2021 13:46:42 --

А могли бы вы на такой вопрос ответить? Какова вероятность того, что после первых $n$ бросков у обоих игроков будет одинаковое число орлов и решек? По-моему, это ключевой вопрос в задаче.

-- Вс июн 13, 2021 13:59:12 --

мат-ламер в сообщении #1522449 писал(а):

А могли бы вы на такой вопрос ответить? Какова вероятность того, что после первых $n$ бросков у обоих игроков будет одинаковое число орлов и решек? По-моему, это ключевой вопрос в задаче.

Попробуйте для начала найти эту вероятность хотя бы для малых $n$ . Хотя бы для $n=1,...,4$ .

[tonven]

мат-ламер
Сдала давно уже на "пятёрку". Так в том курсе нам объясняли разницу между вероятностью в силу симметричности и статистической вероятностью. Если первая будет $p=\frac{1}{2}$ - равна матожиданию, то вторая будет давать отклонения, уменьшающиеся для больших n.
Для $n=1$ у обоих есть 1 случай О и 1 случай Р. $p=\frac{1}{2}$.
Для $n=2$ варианты:
(РРРР)
(РРРО)
(РРОР)
(РРОО)
(РОРР)
(РОРО)
(РООР)
(РООО)
(ОРРР)
(ОРРО)
(ОРОР)
(ОРОО)
(ООРР)
(ООРО)
(ОООР)
(ОООО)
8 случаев равенства. Т.е. опять $p=\frac{1}{2}$
Приписываем по очереди слева и справаJ О и Р. Получаем тот же результат...
Да, всё-таки решение в силу симметрии верное. Хотя интуиция и здравый смысл бунтуют.

[alisa-lebovski]

Используйте локальную теорему Муавра-Лапласа для вероятности совпадения.

[xagiwo]

alisa-lebovski
Она же даёт приближённый ответ, а в задаче вроде нужна точная формула? И, кмк, в этой задаче это лишние сложности

[tonven]

alisa-lebovski
xagiwo
Поняла. нужно при обозримых n просто суммировать $p(m)$ по всем $m=1...n$, а в пределе ЛТМЛ даёт именно $p=\frac{1}{2}$

[мат-ламер]

tonven в сообщении #1522457 писал(а):

8 случаев равенства. Т.е. опять $p=\frac{1}{2}$

А может шесть?

tonven в сообщении #1522457 писал(а):

Сдала давно уже на "пятёрку".

Может помните, что такое треугольник Паскаля и биномиальные коэффициенты? Мне кажется точный ответ с их помощью можно получить.

[tonven]

мат-ламер в сообщении #1522470 писал(а):

А может шесть?

Нет, посчитала столбик ещё раз.
Над большими значениями в ЛТЛФ надо подумать.

[мат-ламер]

tonven в сообщении #1522477 писал(а):

Нет, посчитала столбик ещё раз.

Выпишите все восемь ваших случаев равенства. Когда у первого игрока столько орлов, сколько и у второго. Посмотрим.

[tonven]

мат-ламер в сообщении #1522478 писал(а):

Выпишите все восемь ваших случаев равенства

(РРРР)
(РОРО)
(РООР)
(ОРРО)
(ОРОР)
(ОООО)
Да, затупила.

[мат-ламер]

Вроде ответ действительно $1/2$ . Но его надо обосновать.

-- Вс июн 13, 2021 15:23:39 --

мат-ламер в сообщении #1522470 писал(а):

Может помните, что такое треугольник Паскаля и биномиальные коэффициенты? Мне кажется точный ответ с их помощью можно получить.

Так можно, но это наверное будет слишком сложно. Наверное можно решить, исходя из симметрии.

[tonven]

мат-ламер в сообщении #1522485 писал(а):

Но его надо обосновать.

У A в конце больше сумма $(O+P)=n+1$. Значит, у него больше или "орлов", или "решек". Распределение по ним запутанное, но симметричное. Значит, побед "орлом" будет столько же, сколько и побед "решкой" - если перебрать все возможные варианты. Но нас интересуют только победы "орлом": а это и есть $\frac{1}{2}$.
Со здравым смыслом тоже разобралась. При увеличении n вклад каждого броска в общую победу, действительно, уменьшается. Но уменьшается и $\alpha_n(m)$ в формуле Муавра-Лапласа.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1522485 писал(а):

Наверное можно решить, исходя из симметрии.

С одной стороны:
Вероятность того, что у игрока А больше орлов, чем у игрока В равна вероятности того, у что игрока А больше решек, чем у игрока В. Это следует из симметричности монеты.

С другой стороны:
У игрока А больше орлов, чем у игрока В тогда и только тогда, когда у игрока А решек меньше или равно, чем у игрока В.


-- Вс июн 13, 2021 16:13:01 --

мат-ламер в сообщении #1522498 писал(а):

С одной стороны:
Вероятность того, что у игрока А больше орлов, чем у игрока В равна вероятности того, у что игрока А больше решек, чем у игрока В. Это следует из симметричности монеты.

С другой стороны:
У игрока А больше орлов, чем у игрока В тогда и только тогда, когда у игрока А решек меньше или равно, чем у игрока В.

Отсюда следует, что вероятность, что у игрока А больше решек, чем у игрока В равна вероятности того, что у игрока А решек меньше или равно, чем у игрока В.

Отсюда можно подсчитать все эти вероятности. Оставляю это топик-стартеру.