Наивные вопросы по теории вероятностей

[Anton_Peplov]

Здесь я буду задавать наивные вопросы по теории вероятностей. Вопросы задаются по одному, следующий после закрытия предыдущего.

Вопрос № 1. Строгое определение системы случайных величин.

Наивное описание случайной величины. Случайная величина принимает то или иное значение в результате случайного опыта ("броска кубика").

Строгое определение случайной величины. Рассмотрим множество элементарных исходов $\Omega$ с заданной на нём сигма-алгеброй событий $\Gamma$ и вероятностной мерой $P$ - другими словами, вероятностное пространство $(\Omega, \Gamma, P)$. Рассмотрим также пространство $D$ с заданной на нем сигма-алгеброй $\Sigma$ (обычно в качестве $D$ выступает $\mathbb R$ или некоторое его подмножество). Случайной величиной $X$ называется $(\Gamma, \Sigma)$-измеримая функция $x = \xi( \omega)$ , определенная на $\Omega$ и принимающая значения из $D$.

Перевод строгого определения на человеческий язык. Каждый раз, когда в результате опыта появляется тот или иной элементарный исход $\omega$, случайная величина $X$ принимает значение $x$, однозначно определённое этим элементарным исходом: $x = \xi( \omega)$. Мы можем говорить о вероятности того, что $X$ примет значения из некоторого подмножества $D$, и все имеющие вероятность подмножества $D$ образуют сигма-алгебру $\Sigma$. Вероятность того, что $X$ примет значение из $A \in \Sigma$, есть вероятность события $\xi^{-1}(A)$ (которое по условию $(\Gamma, \Sigma)$-измеримости функции $\xi$ таки событие, т.е. принадлежит $\Gamma$ и, следовательно, имеет вероятность).

Наивное описание системы случайных величин. Если в результате случайного опыта принимают свои значения несколько случайных величин (например, координаты выбранной точки), говорят, что они образуют систему. Принципиально важно, что все случайные величины в системе принимают значения в результате одного и того же опыта ("броска кубика"), так как только в этом случае с несколькими случайными величинами можно выполнять осмысленные действия (складывать их, считать корреляционный момент и так далее).

Строгое определение системы случайных величин. К сожалению, не нашёл ни в одном учебнике, который просматривал. Вопрос: как оно формулируется?

Верно ли, что система из двух случайных величин $(X, Y)$ предполагает одно вероятностное пространство $(\Omega, \Gamma, P)$ и одну сигма-алгебру $\Sigma$ на $D$, но две $(\Gamma, \Sigma)$-измеримых функции $x = x( \omega)$ , $y = \chi ( \omega)$ определенные на $\Omega$ и принимающие значения из $D$?

Теоретически можно было бы рассмотреть на $D$ отдельные сигма-алгебры $\Gamma_X$ и $\Gamma_Y$ для случайных величин $X, Y$, входящих в одну систему. Но т.к. обычно ограничиваются рассмотрением борелевских подмножеств $D$, то в таком усложнении, по-моему, нет особого смысла.

Ещё можно было бы взять одно и то же множество элементарных исходов $\Omega$ с заданной на нём одной сигма-алгеброй событий $\Gamma$, но разные вероятностные меры $P_X, P_X$ и тем самым получить разные вероятностные пространства $(\Omega, \Gamma, P_X)$ и $(\Omega, \Gamma, P_Y)$. Но не теряется ли при этом интуитивный смысл объединения случайных величин в систему? Если случайный опыт состоит, скажем, в выборе точки на плоскости, а случайные величины в системе - её координаты, то каждая точка плоскости - элементарный исход, события - подмножества плоскости, и каждому событию приписана только одна вероятность.

Дополнительный вопрос, связанный с первым. Случайная величина называется непосредственно заданной, если $\Omega= D$, $\Gamma =\Sigma$ и $\xi (x) = x$. Если я правильно формулирую определение системы случайных величин, то непосредственно заданная случайная величина может образовывать систему только с самой собой. Это так?

[Xaositect]

Anton_Peplov в сообщении #1522366 писал(а):

Строгое определение системы случайных величин. К сожалению, не нашёл ни в одном учебнике, который просматривал. Вопрос: как оно формулируется?

Обычно говорят о случайных векторах или многомерных/векторных случайных величинах.

[alisa-lebovski]

Anton_Peplov в сообщении #1522366 писал(а):

Строгое определение системы случайных величин. К сожалению, не нашёл ни в одном учебнике, который просматривал. Вопрос: как оно формулируется?

Набор функций.

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1522366 писал(а):

Верно ли, что система из двух случайных величин $(X, Y)$ предполагает одно вероятностное пространство $(\Omega, \Gamma, P)$ и одну сигма-алгебру $\Sigma$ на $D$, но две $(\Gamma, \Sigma)$-измеримых функции $x = x( \omega)$ , $y = \chi ( \omega)$ определенные на $\Omega$ и принимающие значения из $D$?

Да.

Anton_Peplov в сообщении #1522366 писал(а):

непосредственно заданная случайная величина может образовывать систему только с самой собой

Почему?

[Anton_Peplov]

Mikhail_K в сообщении #1522377 писал(а):

Anton_Peplov в сообщении #1522366 писал(а):

непосредственно заданная случайная величина может образовывать систему только с самой собой

Почему?

Я неверно выразился. На самом деле я хотел сказать вот что: две непосредственно заданные случайные величины образуют систему, только если они совпадают друг с другом.

[GAA]

По поводу непосредственно заданной случайной величины. Не понятен вопрос, непонятно с чем он связан. Поэтому на бытовом языке.

[Определение системы случайных величин на множестве элементарных исходов может быть в некоторых задачах избыточным.]

Предположим для простоты, что у нас есть дискретное пространство элементарных исходов (с конечным числом этих исходов) и две случайные величины $X_1(\omega)$ и $X_2(\omega)$, имеющие множества значений $R_1$ и $R_2$. Зная вероятности элементарных исходов, можно найти совместное распределение вероятностей $p_{X_1, X_2}(x_1, x_2)$. (В качестве алгебры мы можем рассматривать множество всех подмножеств, если задача не требует иных алгебр.)

Теперь забудем об исходном множестве элементарных исходов и введём новое множество элементарных исходов $R_1 \times R_2$ («прямоугольную таблицу», координата $x_1$ пробегает множество $R_1$, координата $x_2$ — множество $R_2$) и зададим вероятности таких новых элементарных исходов при помощи $p_{X_1, X_2}(x_1, x_2)$. Теперь наши функции примут вид $X_1(x_1) = x_1$, $X_2(x_2) = x_2$. Это и будут непосредственно заданные случайные величины $X_1$ и $X_2$.

Итого. Если имеется совместное распределение вероятностей двух случайных величин $X_1$ и $X_2$, то можно построить множество элементарных исходов и на этом множестве случайные величины задать в виде $X_1(x_1) = x_1$, $X_2(x_2) = x_2$.

Дальше можно вводить уже на этом новом множестве [элементарных исходов] новые случайные величины и находить что-то там…

А если это и так понятно и нужно строгое изложение, то проще указывать книгу (по которой тема изучается).

[Padawan]

Возможно, это кое-что прояснит для ТС
Предложение. Отображение $\xi\colon \Omega\to\mathbb R^2$, $\xi(\omega)=(\xi_1(\omega),\xi_2(\omega))$, измеримо (относительно борелевской сигма-алгебры в $\mathbb R^2$) ттт измеримы функции $\xi_1$ и $\xi_2$.

[Anton_Peplov]

Вопрос о непосредственно заданных случайных величинах возник из строгого следования определениям. Система из двух случайных величин $(X, Y)$ предполагает одно вероятностное пространство $(\Omega, \Gamma, P)$ и одну сигма-алгебру $\Sigma$ на $D$, но две $(\Gamma, \Sigma)$-измеримых функции $x = \xi ( \omega)$ , $y = \chi ( \omega)$ определенные на $\Omega$ и принимающие значения из $D$. Т.е. случайные величины в системе отличаются друг от друга только видом функции $\Omega \to D$. В случае непосредственно заданной СВ, по определению, $\Omega= D$, $\Gamma =\Sigma$ и $\xi (x) = x$, т.е. функция $\Omega \to D$ одна - тождественная. Из этого неумолимо вытекает, что две непосредственно заданные СВ в одной системе совпадают. Это показалось мне довольно большим недостатком самого понятия непосредственно заданной СВ, и я на всякий случай решил переспросить.

Понятно, что можно взять две непосредственно заданные СВ и переопределить вероятностное пространство, взяв в качестве множества элементарных исходов $\mathbb R^2$, а уж тогда получившиеся СВ образуют систему. Однако при таком переопределении вероятностного пространства случайные величины перестанут быть непосредственно заданными (по определению).

[Padawan]

Anton_Peplov в сообщении #1522621 писал(а):

самого понятия непосредственно заданной СВ

Я вообще впервые вижу такое понятие. Ни в курсе лекций, которые нам читались в университете, ни в книжках, которые я читал по ТВ, не видел такого.

[Anton_Peplov]

Padawan в сообщении #1522624 писал(а):

Я вообще впервые вижу такое понятие.

Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1967. С. 130-131.

[svv]

Anton_Peplov в сообщении #1522366 писал(а):

Принципиально важно, что все случайные величины в системе принимают значения в результате одного и того же опыта ("броска кубика")

Непонятно, как можно формализовать это требование и зачем.
Допустим, два не связанных между собой человека (или устройства) в разных местах проводят совершенно различные испытания, в результате которых каждый получает значения своей случайной величины. Я не вижу причин, по которым нельзя «скрепить степлером» оба результата и объявить это значением одной двумерной случайной величины. Считайте, что эти двое находятся в огромном чёрном ящике, на выход которого по нажатию кнопки подаётся эта самая пара значений. И как доказать, что Ваше требование нарушается, не открывая ящика?

[GAA]

По поводу непосредственно заданной случайной величины.
Есть курсы теории вероятностей (например, для инженеров или начальные сведения из теории вероятностей перед изучением математической статистики, или очень старинные курсы ТВ), где не вводится определение системы случайных величин (векторной случайной величины) через пространство элементарных исходов: система случайных величин (векторная случайная величина) и её распределение «с неба падают». Примером такого начального курса для инженеров служит книга Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Примером старинного курса математической статистики с вводными сведениями из ТВ служит книга Крамера Г. Математические методы статистики.

В книге Прохорова и Розанова дано определение для скалярной (одномерной случайной) величины:

Цитата:

Случайная величина $\xi = \xi(\omega)$ называется непосредственно заданной, если каждый элементарный исход $\omega$ описывается точкой $x$ в фазовом пространстве (точнее, если $\Omaga = X$, $\mathfrak{U} = \mathfrak{B}$ и функция $\xi = \xi(x)$ имеет вид $\xi(x) = x$, $x \in X$).

Одномерное фазавое пространство — одна случайная величина. В случае двумерной случайной величины фазовое пространство будет двумерным. Идею как обобщить определение из книги Прохорова и Ушакова я написал в предыдущем сообщении.

Термин непосредственно заданная случайная величина встречается в старых книгах. Сейчас быстро нагуглил книгу Козлов М.В. Элементы теории вероятностей в примерах и задачах, 1990. На c. 31

Цитата:

Отмеченное обстоятельство позволяет говорить о случайной величине с заданным распределением вероятностей безотносительно к вероятностному пространству, на котором она определена, поскольку можно считать, что случайная величина непосредственно задана. В определённом смысле случайная величина и порождённое ею вероятностное пространство — эквивалентные формы представления вероятностного опыта.

В общем, тут особо задумываться мне повода не видно.

[Someone]

GAA в сообщении #1522657 писал(а):

В книге Прохорова и Розанова дано определение для скалярной (одномерной случайной) величины:

Цитата:

Случайная величина $\xi = \xi(\omega)$ называется непосредственно заданной, если каждый элементарный исход $\omega$ описывается точкой $x$ в фазовом пространстве (точнее, если $\Omaga = X$, $\mathfrak{U} = \mathfrak{B}$ и функция $\xi = \xi(x)$ имеет вид $\xi(x) = x$, $x \in X$).

Одномерное фазавое пространство — одна случайная величина. В случае двумерной случайной величины фазовое пространство будет двумерным. Идею как обобщить определение из книги Прохорова и Ушакова я написал в предыдущем сообщении.

В книге А. А. Боровкова "Теория вероятностей" (издание второе, 1986 года) употребляется термин "выборочное вероятностное пространство":

Глава 3, § 2 писал(а):

Определение 3. Вероятностное пространство $\langle\Omega,\mathfrak F,\mathbf P\rangle$ называется выборочным для случайной величины $\xi(\omega)$, если $\Omega$ есть подмножество вещественной прямой $R$ и $\xi(\omega)=\omega$.

Немного дальше (в § 3) это понятие обобщается на многомерные случайные величины.

[Anton_Peplov]

svv в сообщении #1522655 писал(а):

Anton_Peplov в сообщении #1522366 писал(а):

Принципиально важно, что все случайные величины в системе принимают значения в результате одного и того же опыта ("броска кубика")

Непонятно, как можно формализовать это требование и зачем.

Подумал об этом ещё раз. Действительно, похоже, интуиция здесь ошибается.

Интуиция говорит что-то вроде "чтобы сумма случайных величин $X$ и $Y$ имела смысл, нужно, чтобы каждый раз, когда $X$ принимает какое-то значение, $Y$ тоже принимала какое-то значение, а для этого пусть они принимают значения в одном опыте". Это из-за того, что интуиция оперирует бросками кубиков и привносит из бытового опыта представление, что если кубиков два, то один можно бросить, а со вторым погодить.

Если же вспомнить, что любое событие есть только множество, ничто не мешает нам сложить любое возможное значение величины $X$ с любым возможным значением величины $Y$ и задаться вопросом, попадает ли сумма в то или иное множество (событие) и какую меру (вероятность) имеет это множество.

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1522675 писал(а):

В книге А. А. Боровкова "Теория вероятностей" (издание второе, 1986 года) употребляется термин "выборочное вероятностное пространство"

Интересно, если для каждой случайной величины можно ввести выборочное пространство и рассматривать числа как элементарные исходы, а подмножества $\mathbb R$ как события, то почему случайные величины не определяют так с самого начала? К чему городить огород с введением произвольного множества элементарных исходов $\Omega$ и измеримой функции $\xi \colon \Omega \to \mathbb R$?