Исключение из теоремы Абеля

[Евгений Машеров]

Цитата:

8.2837
-8.8009
1.0840 + 3.8297i
1.0840 - 3.8297i
-2.1567
0.5059

MATLABовский решатель дал немного отличающиеся знаке в четвёртом и оба комплексных корня. И все не похожи на найденные данным методом...

[Лукомор]

Евгений Машеров в сообщении #1520290 писал(а):

Что-то у меня все не получаются...

Это нормальное явление.
Просто у ТС опечатка в уравнении (12).
Должно быть:

$$v^6-62v^4+72v^3+817v^2-2088v+1260=0,\eqno (12)$$

Перед $817v^2$ должен быть не минус, а плюс,
чтобы получились заявленные ТС шесть корней...

[cheslav]

Евгений Машеров в сообщении #1519825 писал(а):

можно представить уравнение 5 степени в виде
$(x^2+px+q)(x^3+kx^2+mx+n)=0$, но откуда следует, что для всякого уравнения будет выполняться $k=-p$?

Для того чтобы в (10) после умножения получилась каноническая форма (9) с коэффициентом равным нулю при неизвестном четвёртой степени необходимо чтобы $p=p$ или как у вас $k=-p$.

-- 30.05.2021, 19:52 --

Лукомор в сообщении #1520387 писал(а):

Просто у ТС опечатка в уравнении (12).
Должно быть:

$$v^6-62v^4+72v^3+817v^2-2088v+1260=0,\eqno (12)$$

Спасибо

[Евгений Машеров]

То есть Вы придумали способ решать частный класс уравнений 5 порядка. Но очень узкий, и принадлежность к нему определяется не так просто, как, скажем, к возвратным.
Контрпример к теореме Абеля он не составляет, поскольку она отрицает возможность общего для всех уравнений алгоритма вычисления корней, а для некоторых специальных корни вполне вычисляются, скажем, для $x^n=1$ они находятся для всех сколь угодно больших n.

[Евгений Машеров]

Вообще я бы различал, с какой целью решается "нерешаемая задача" - с прикладной или с научно-спортивной. С прикладной точки зрения уравнения любой степени решаемы с любой потребной точностью, с научно-спортивной важно точное соблюдение условий, в частности, чтобы это было "в общем случае", а не найти частный решаемый (хотя может быть ситуация, когда интересно выделить достаточно большой класс, для которого решение есть, и чтобы он при этом был практически полезен, но тут какой-то уж очень узкий).

[Лукомор]

cheslav в сообщении #1515005 писал(а):

Общее уравнение 2-й степени с двумя неизвестным

$$au^2 + buv + cv^2 + du + ev + f = 0,\eqno (1)$$

и

cheslav в сообщении #1515005 писал(а):

Теперь, если в (1) и (6) взять $u = v^3$, то получается (7) и (8)

$$av^6+bv^4+cv^3+dv^2+ev+f=0, \eqno(7)$$

Не получается...

Если в (1) подставить $u=v^3$, то получится нечто другое,
а именно:
$av^6 + bv^4 + cv^2 + dv^3 + ev + f = 0$.

Полагаю, что дальше читать не о чем...
или ни о чем...

[cheslav]

Евгений Машеров в сообщении #1520595 писал(а):

интересно выделить достаточно большой класс, для которого решение есть, и чтобы он при этом был практически полезен, но тут какой-то уж очень узкий).

Любое уравнение пятой степени с помощью подстановки
$y=x-A/5$ приводится к канонической форме (9) для которой верны (10) и (11).Возможны ли ещё какие-либо варианты за пределами этого алгоритма,позволяющие утверждать,что это
"узкий класс" уравнений?

[Лукомор]

cheslav в сообщении #1521953 писал(а):

Возможны ли ещё какие-либо варианты за пределами этого алгоритма,позволяющие утверждать,что это
"узкий класс" уравнений?

Да любые варианты, для которых $u\ne v^3$...

[cheslav]

Mikhail_K в сообщении #1519785 писал(а):

cheslav в сообщении #1519784 писал(а):

Если говорить про комплексные корни, то всякое уравнение $n$-й степени (хоть пятой, хоть десятой, любой), имеет ровно $n$ комплексных корней с учётом кратности. Просто для них нет явной формулы в радикалах, а корни сами существуют (см. Основную теорему алгебры).

Если в (9) коэффициенты не удовлетворяют условию факторизации (11),то (9) не
имеет точных корней,что противоречит основной теореме алгебры.Но вывод условия факторизации прост и прозрачен.Где там может быть ошибка?

[Mikhail_K]

cheslav в сообщении #1522102 писал(а):

Если в (9) коэффициенты не удовлетворяют условию факторизации (11),то (9) не
имеет точных корней,что противоречит основной теореме алгебры.Но вывод условия факторизации прост и прозрачен.Где там может быть ошибка?

cheslav в сообщении #1515005 писал(а):

Для того чтобы уравнение пятой степени (9) разлагалось на множители (10) необходимо чтобы выполнялось равенство (11):

$$x^5+Ax^3+Bx^2+Cx+D=0,\eqno(9)$$

$$(x^2+px+q)(x^3-px^2+mx+n)=0,\eqno(10)$$

$$D^2+(B^2)C=ABD.\eqno(11)$$

которое получается если перемножить сомножители в (10) и приравнять полученные коэффициенты с соответствующими
из (9).

Думаю, Вы допустили какую-то опечатку при выводе (11).
Возьмём $A=-1$, $B=1$, $C=-1$, $D=0$.
Тогда условие (11) не выполняется: $D^2+B^2C=-1$, $ABD=0$.
Однако, уравнение (9) вполне решается:
$x^5-x^3+x^2-x=0$
$x(x^4-x^2+x-1)=0$
$x(x^2(x^2-1)+x-1)=0$
$x(x^2(x+1)(x-1)+(x-1))=0$
$x(x-1)(x^2(x+1)+1)=0$
$x(x-1)(x^3+x^2+1)=0$
Вот и получили разложение вида (10), а именно $(x^2-x)(x^3+x^2+1)$, т.е. $p=-1$, $q=0$, $m=0$, $n=1$, а заодно и два корня $x=0$ и $x=1$. Ещё один вещественный корень и два комплексных можно найти из уравнения $x^3+x^2+1=0$.

[Лукомор]

cheslav в сообщении #1522102 писал(а):

Где там может быть ошибка?

Еще раз, по слогам...

cheslav в сообщении #1515005 писал(а):

Общее уравнение 2-й степени с двумя неизвестным

$$au^2 + buv + cv^2 + du + ev + f = 0,\eqno (1)$$

cheslav в сообщении #1515005 писал(а):

Теперь, если в (1) и (6) взять $u = v^3$, то получается (7) и (8)

$$av^6+bv^4+cv^3+dv^2+ev+f=0, \eqno(7)$$

Подставляем $u = v^3$ в (1) (следите за руками!).
$a (v^3)^2 + b(v^3)v + cv^2 + d(v^3) + ev + f = av^6 + bv^4 + cv^2 + dv^3 + ev + f$.

При аккуратной подстановке должно получиться $cv^2$ и $dv^3$, а в Вашей формуле (7) перепутаны коэффициенты.
У Вас там $cv^3$ и $dv^2$, с точностью до наоборот. Это и есть ошибка.
Соответственно, все дальнейшее после формулы (7) - не правильно....

[cheslav]

Я не нашёл опции "правка" для основного текста.Пишу здесь.
!. Там нужно в (7) поменять местами $c$ и $d$.
Спасибо за подсказку.
2. В (8) пропущен знак степени при $b$ (квадрат) нужно $b^2$.
После исправления этих ошибок всё красиво получается.
$\sqrt{A}=\sqrt{b^2-4ac}=\pm48$.
Из (8) и (12):

$$v^3+((b\sqrt{A}+b^2-4ac)/2a\sqrt{A})v+ +(d\sqrt{A}-1+bd-2ae)/2a\sqrt{A}=0,$$

$$v^6-62v^4+72v^3+817v^2-2088v+1260=0,$$

для $\sqrt{A}=+48$, $v^3-19v+30=0$, $v=2,3,-5.$
Для - $\sqrt{A}=-48$, $v^3-43v+42=0$, $v=1,6,-7.$

[Лукомор]

cheslav в сообщении #1523106 писал(а):

!. Там нужно в (7) поменять местами $c$ и $d$.

Не только лишь "там" нужно поменять, но и "тут" :

cheslav в сообщении #1523106 писал(а):

$$v^6-62v^4+72v^3+817v^2-2088v+1260=0,$$

В этом уравнении тоже нужно поменять местами коэффициенты $d = 72$ и $c = 817$.

[cheslav]

Лукомор в сообщении #1523124 писал(а):

Не только лишь "там" нужно поменять, но и "тут" :

Да,и "здесь".
А ещё $\sqrt{A}=\pm24$

[Лукомор]

cheslav в сообщении #1523160 писал(а):

Да,и "здесь".
А ещё $\sqrt{A}=\pm24$

Просто феерия какая-то!

Можно в уравнении написать $ +817$, а можно $ -817$,
можно написать $ d = 72$ и $ c = 817$, но можно и наоборот $ c = 72$ и $ d = -817$[/quote],
можно $ b$, а можно и $ b^2$,
при этом

cheslav в сообщении #1523106 писал(а):

$\sqrt{A}=\sqrt{b^2-4ac}=\pm48$

, или

cheslav в сообщении #1523160 писал(а):

$\sqrt{A}=\pm24$

не важно...
Все равно, при любых значениях коэффициентов и дискриминантов получается то, что надо.

Удивительный метод придумал господин Лейбниц!