Нормальная кривизна поверхности (теорема Менье)

[misha.physics]

Здравствуйте. Есть связь между нормальной кривизной $k_n$ кривой и обычной кривизной $k_1$ кривой: $k_n=k_1\cos\theta$, где $\theta$ - угол между нормалью поверхности и вектором $\mathbf{r}''$ кривой (штрих обозначает производную по натуральному параметру кривой). В теореме Менье говорится, что проекция центра кривизны нормального сечения на данную плоскость совпадает с центром кривизны кривой лежащей на этой плоскости (я немного переформулировал учебник).



Но у меня получается наоборот. То есть, что проекция центра кривизны кривой лежащей на данной плоскости на плоскость содержащей нормальное сечение совпадает с центром кривизны нормального сечения, ведь именно это следует из $k_n=k_1\cos\theta$. Я ошибаюсь?

Ещё говорится, что для нормального сечения угол $\theta=0$ и $k_1=k_n$. Но ведь может быть $\theta=\pi$, ведь нормаль к поверхности может быть направлена в любую сторону от касательной плоскости поверхности в данной точке, ведь нормаль поверхности это $\mathbf{n}=\displaystyle\frac{\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v}{|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|}$ и в зависимости от того какой параметр поверхности мы выберем за $u$, а какой за $v$ будет зависеть ориентация вектора $\mathbf{n}$ относительно поверхности. Значит для нормального сечения должно быть $k_1=\pm k_n$, так ведь?

[svv]

misha.physics в сообщении #1521609 писал(а):

Но у меня получается наоборот. То есть, что проекция центра кривизны кривой лежащей на данной плоскости на плоскость содержащей нормальное сечение совпадает с центром кривизны нормального сечения, ведь именно это следует из $k_n=k_1\cos\theta$.

Кривизна (точнее, её модуль) — величина, обратная радиусу соприкасающейся окружности. Чем меньше радиус кривизны кривой, тем больше её кривизна, и наоборот.

Пусть $X$ — точка на поверхности, $O_n$ — центр кривизны нормального сечения, $O_1$ — центр кривизны наклонного сечения (предполагается, что оба сечения проведены в одном направлении, то есть в обоих секущих плоскостях лежит некоторый касательный вектор $\mathbf u$). Тогда из $k_n=k_1 \cos\theta$ получаем $\frac 1{XO_n}=\frac 1{XO_1}\cos\theta$, или $XO_1=XO_n\cos\theta$. Поэтому у Менье и получается наоборот.

[misha.physics]

svv, ой, точно! Спасибо!

[misha.physics]

Я просто на этой картинке:

(Картинка)

сначала принял концы векторов $k_1\boldsymbol{\nu}_1$ и т.п. за центры кривизны кривых с кривизнами $k_1$ и т.п., а вершину прямого угла за центр кривизны нормального сечения

[svv]

misha.physics в сообщении #1521609 писал(а):

Ещё говорится, что для нормального сечения угол $\theta=0$ и $k_1=k_n$. Но ведь может быть $\theta=\pi$, ведь нормаль к поверхности может быть направлена в любую сторону от касательной плоскости поверхности в данной точке, ведь нормаль поверхности это $\mathbf{n}=\displaystyle\frac{\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v}{|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v|}$ и в зависимости от того какой параметр поверхности мы выберем за $u$, а какой за $v$ будет зависеть ориентация вектора $\mathbf{n}$ относительно поверхности. Значит для нормального сечения должно быть $k_1=\pm k_n$, так ведь?

1) У нас есть две секущих плоскости, "нормальная" и "наклонная", их пересечение с поверхностью даёт две кривые — нормальное и наклонное сечение. Кривизна обеих кривых (как кривых в пространстве) — неотрицательная величина, потому что определяется как $|\mathbf r''|$. И эта кривизна не зависит от выбора нормали к каждой из плоскостей.

2) Согласно стандартному определению, угол между двумя плоскостями лежит в пределах $[0;\pi/2]$ и тоже не зависит от выбора нормалей к плоскостям.

Так что можно было бы спросить: при чём тут вообще нормаль?, но
3) кривизну нормального сечения можно определить и по-другому: $k_n=\mathbf r''\cdot\mathbf n$. Тогда её знак говорит о том, "загибается" ли поверхность в выбранном сечении в направлении нормали, или в противоположном. Естественно, такая $k_n$ зависит от выбора нормали.

P.S. Кстати, Вы не подумали по ошибке, что $\theta=0$ — это случай плоскости, касательной к поверхности?

[misha.physics]

svv в сообщении #1521658 писал(а):

P.S. Кстати, Вы не подумали по ошибке, что $\theta=0$ — это случай плоскости, касательной к поверхности?

Нет, я понимаю что $\theta=0$ значит, что наклонная плоскость совпадает с нормальной, а нормальная плоскость в свою очередь проходит через заданное направление и вектор нормали поверхности.

svv в сообщении #1521658 писал(а):

кривизну нормального сечения можно определить и по-другому: $k_n=\mathbf r''\cdot\mathbf n$

Именно так в учебнике она и определяется, и сразу ясно, что она может быть отрицательной.

svv в сообщении #1521658 писал(а):

Согласно стандартному определению, угол между двумя плоскостями лежит в пределах $[0;\pi/2]$ и тоже не зависит от выбора нормалей к плоскостям.

Ну, в учебнике пишет, что в формуле $k_n=k_1\cos\theta$ угол $\theta$ это "угол между вектором главной нормали кривой и единичным вектором нормали к поверхности". Понятно, что этот угол может быть тупым и $\cos\theta$ может быть отрицательным.

Вот и получается, что от направления нормали к поверхности будет зависеть знак нормальной кривизны поверхности. А в учебнике пишет, что для нормального сечения $\theta=0$ и $k_1=k_n$. И у меня возник вопрос, есть ли здесь неточность и должно ли быть более точно, что для нормального сечения $\theta=0$ или $\pi$ и, соответственно, $k_1=\pm k_n$. Но поскольку $k_1$ должен быть положителен, то получается, что если угол $\theta$ тупой, то нормальная кривизна $k_n$ должна быть отрицательной. Но тогда получается, что кривизна кривой лежащей в наклонном сечении должна быть только положительной (это мы знаем из теории кривых), а кривизна нормального сечения может быть и отрицательной, то есть, выходит, что кривая лежащая в нормальной плоскости в этом смысле особенная...

-- 07 июн 2021, 23:29 --

И возникает такая проблема (в моем понимании, конечно). Например, у нас есть сфера. Рассмотрим её нормальное сечение плоскостью проходящей через данную точку сферы в данном направлении. Рассмотрим это нормальное сечение в окрестности данной точки, это будет дуга большой окружности. Проведем наклонную плоскость через ту же точку и направление - получим наклонное сечение, понятно, что центр кривизны этого сечения будет по ту сторону от касательной плоскости поверхности в данной точке, что и центр сферы. Пусть вектор нормали поверхности направлен от центра сферы наружу (мы можем так сделать). Тогда угол между вектором нормали к поверхности и вектором $\mathbf{r}''$ наклонного сечения будет тупым, а значит кривизна нормального сечения будет отрицательна. Но если мы рассмотрим кривую - нормальное сечение как одну из кривых в пространстве, то её кривизна будет положительной, а центр кривизны находится в центре сферы. Но если кривизна нормального сечения отрицательна, то как тогда быть с тем, что кривизна кривой обратно пропорциональна радиусу кривизны? Мне кажется, что здесь смешиваются два разных понимания кривизны нормального сечения - со знаком и без.

[svv]

Ок, понятно. Существуют разные определения, см., например, здесь:

Цитата:

If $\gamma$ is a curve lying on a surface and $P$ is a point on $\gamma$, then the curvature $k$ of $\gamma$ at $P$, the curvature $k_N$ of the normal section of the surface by the plane passing through both the unit tangent vector to $\gamma$ at $P$ and the unit normal vector to the surface, and the angle $\alpha$ between the referred plane of $\gamma$ at $P$ and the osculating plane, satisfy the relation
$k_N=k\cos\alpha$

Как Вы заметили, иногда разные варианты определения конкурируют даже в пределах одной книги. В приведенной цитате величины $k_N, k, \cos\alpha$ неотрицательны. Попробую объяснить, почему мне такой вариант нравится больше. В идеале утверждение теоремы как можно больше сообщает, так сказать, об объективных вещах, и как можно меньше зависит от произвола в выборе способа описания, вроде системы координат или направления нормали. Кривизне $k_N$ можно приписать знак, и чаще всего это удобно, но не в теореме Менье:

1) В самом деле нехорошо, что кривизна нормального сечения и наклонного сечения (даже близкого к нормальному) вводятся согласно разным определениям и могут иметь разный знак.
2) При необходимости знак $k_N$ легко восстанавливается в зависимости от выбора направления нормали к поверхности.
3) При заданном касательном векторе $\mathbf u=\mathbf r'$ все возможные сечения поверхности можно получить вращением плоскости вокруг $\mathbf u$. При повороте плоскости на $\pi$ (а не только на $2\pi$) получается то же сечение.
4) Угол поворота $\alpha$ секущей плоскости относительно "нормального" положения концептуально проще, чем угол между вектором главной нормали кривой (а откуда я знаю, куда смотрит этот вектор?) и вектором нормали к поверхности (аналогично). Углу $\alpha$ легко приписать знак, зависящий от того, по или против часовой стрелки повернута плоскость, если смотреть навстречу $\mathbf u$. Но так как в формулу входит $\cos\alpha$, то и знак угла не важен, и достаточно обычного угла между плоскостями $[0;\pi/2]$.

В общем, мы не потеряем никакой содержательной информации, если все величины в формуле будем считать неотрицательными. Ещё надо иметь в виду: при заданном $\mathbf u$ вектор главной нормали любого сечения, в том числе нормального, направлен всегда по одну и ту же сторону от касательной плоскости в точке $P$. (Например, если касательная плоскость горизонтальна, а главная нормаль нормального сечения направлена вертикально вниз, то главные нормали наклонных сечений будут направлены наклонно вниз. И это нельзя изменить никаким поворотом секущей плоскости.)

[misha.physics]

svv, спасибо, в общем все понятно. То есть в формуле $k_n=k_1\cos\theta$ под углом $\theta$ будем понимать угол между плоскостями, заключенный в $[0;\pi/2]$. Формально, можно было бы ещё писать $k_n=k_1 |\cos\theta|$ понимая здесь под углом угол между векторами нормали поверхности и главной нормали кривой, но это выглядит избыточным.

svv в сообщении #1521838 писал(а):

при заданном $\mathbf u$ вектор главной нормали любого сечения, в том числе нормального, направлен всегда по одну и ту же сторону от касательной плоскости в точке $P$

Да, я кстати выше это упомянул для случая сечений сферы, центры кривизны находятся по одну сторону от касательной плоскости. Ооо, а ведь можно ещё в формуле $k_n=k_1\cos\theta$ под углом понимать угол между главной нормалью нормального сечения и главной нормалью наклонного сечения, тогда этот угол точно не будет тупым. То есть, вместо нормали поверхности в данной точке использовать главную нормаль нормального сечения в этой точке. Они коллинеарны.

[svv]

Да, можно и так. Автор книги иногда становится жертвой собственных определений, ну а читателю надо продираться через неизбежные условности к абсолютному.

[misha.physics]

У меня тут возникло ещё две идеи по этой теме, вроде очевидные, но хочется убедится, прав ли я.

1) Допустим перед нами стоит задача найти кривизну $k_1$ наклонного сечения в точке $X$ поверхности и в направлении $l=(du:dv)$ и пусть мы знаем угол $\theta$ между наклонной и нормальной плоскостями проходящими через точку $X$ и то же самое направление $l=(du:dv)$.

Тогда можно сделать так: сначала находим кривизну нормального сечения по формуле $k_n=\displaystyle\frac{II(X,l)}{I(X,l)}$ (отношение второй формы к первой), а потом находим нужную нам кривизну наклонного сечения по формуле $k_1=\displaystyle\frac{k_n}{\cos\theta}$. Для вычисления нужно будет представить направление $l=(du:dv)$ через угол $\varphi$ так: $du=\rho\cos\varphi$, $dv=\rho\sin\varphi$, тогда $\rho$ в конце сократится.

2) Исходя из формулы $k_n=k_1\cos\theta$ получается, что кривизны двух наклонных сечений (с векторами главной нормали $\boldsymbol\nu_1$ и $\boldsymbol\nu_2$ (на рисунке ниже)) для одинаковых углов $\theta$ одинаковы, хотя это кажется неочевидным.

(Рисунок)

[svv]

misha.physics в сообщении #1526493 писал(а):

Тогда можно сделать так: сначала находим кривизну нормального сечения по формуле $k_n=\displaystyle\frac{II(X,l)}{I(X,l)}$ (отношение второй формы к первой), а потом находим нужную нам кривизну наклонного сечения по формуле $k_1=\displaystyle\frac{k_n}{\cos\theta}$. Для вычисления нужно будет представить направление $l=(du:dv)$ через угол $\varphi$ так: $du=\rho\cos\varphi$, $dv=\rho\sin\varphi$, тогда $\rho$ в конце сократится.

Если направление $du:dv$ задано в виде отношения вещественных чисел $a:b$, например, $3:7$, то надо в формулу
$k_N=\dfrac{L\,du^2+2M\,du\,dv+N\,dv^2}{E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2}$
вместо $du$ подставить $a=3$, а вместо $dv$ подставить $b=7$, и всё.

Формулу для $k_N$ можно переписать через производные $\dot u=\frac{du}{dt}$ и $\dot v=\frac{dv}{dt}$, где $t$ — параметр кривой. Отношение $du:dv=\dot u:\dot v$. А при подходящем выборе параметра $t$ получим в моём примере $\dot u=3, \dot v=7$.

Угол $\varphi$ не имеет геометрического смысла угла между направлением и касательным вектором $\mathbf e_u=\frac{\partial\mathbf r}{\partial u}$.

[svv]

misha.physics в сообщении #1526493 писал(а):

2) Исходя из формулы $k_n=k_1\cos\theta$ получается, что кривизны двух наклонных сечений (с векторами главной нормали $\boldsymbol\nu_1$ и $\boldsymbol\nu_2$ (на рисунке ниже)) для одинаковых углов $\theta$ одинаковы, хотя это кажется неочевидным.

По крайней мере, попробую доказать это проще, чем в учебнике. Дифференцируя равенство $\mathbf r'\cdot \mathbf n=0$ по натуральному параметру $s$, получим $\mathbf r''\cdot \mathbf n=-\mathbf r'\cdot \mathbf n'$. Правая часть содержит лишь первые производные, поэтому зависит только от направления, тогда и левая часть зависит только от направления. Всё остальное написано в формуле (15).

[misha.physics]

svv в сообщении #1526625 писал(а):

вместо $du$ подставить $a=3$, а вместо $dv$ подставить $b=7$, и всё

Действительно, понял.

svv в сообщении #1526625 писал(а):

Отношение $du:dv=\dot u:\dot v$. А при подходящем выборе параметра $t$ получим в моём примере $\dot u=3, \dot v=7$.

Понял.

svv в сообщении #1526625 писал(а):

Угол $\varphi$ не имеет геометрического смысла угла между направлением и касательным вектором $\mathbf e_u=\frac{\partial\mathbf r}{\partial u}$.

Ой, точно. Я забыл, что параметры $u$ и $v$ могут и не иметь размерности длины, и что координатные линии в данной точки могут и не быть ортогональными. Наверное, я думал в сторону локальной декартовой системы координат в данной точке, но действительно, это уже кажется излишним.

svv в сообщении #1526638 писал(а):

Правая часть содержит лишь первые производные, поэтому зависит только от направления

От направления, то есть, от направления касательного вектора кривой в данной точке? А как это связанно только с первыми производными?

svv в сообщении #1526638 писал(а):

тогда и левая часть зависит только от направления.

А, то есть мы таким способом доказали, что произведение $k_1\cos\theta$ (которое равно $\mathbf r''\cdot \mathbf n$) зависит только от направления, и значит для одинаковых направлений одинаковое. Я просто наверное имел ввиду, что это интересный факт в том смысле, что визуально не очевидно, что для двух разных сечений, но с одинаковым углом $\theta$, кривизны этих сечений $k_1$ будут одинаковыми.То есть, мы сначала рассекли поверхность (в данной точке и в данном направлении) под таким наклоном: $/$, потом рассекли под таким наклоном: $\backslash$ (так что углы $\theta$ одинаковые), потом сравнили эти два сечения и оказалось, что в данной точке у них одинаковая кривизна $k_1$. Я имел ввиду, что визуально если представлять себе какую-то несимметричную поверхность и мысленно рассекать её, то именно визуально не очевидно, что эти сечения для одинаковых $\theta$ будут иметь одинаковую кривизну. Хотя формулы дают этот интересный результат . То есть, возможно, я думал, что можно как-то без формул прийти к этому факту (именно для одинаковых углов $\theta$)

[svv]

misha.physics в сообщении #1526685 писал(а):

От направления, то есть, от направления касательного вектора кривой в данной точке? А как это связанно только с первыми производными?

Пусть $f$ — некоторая гладкая функция (скалярная или векторная), заданная на поверхности. Найдём её производную вдоль кривой в точке $P$ (по натуральному параметру $s$):
$f'=\frac{df}{ds}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{du}{ds}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{dv}{ds}$
Производные $\frac{\partial f}{\partial u},\frac{\partial f}{\partial v}$ вообще не зависят от выбора кривой, проходящей через $P$. А производные $\frac{du}{ds},\frac{dv}{ds}$ определяются только направлением (или определяют направление).

-- Ср июл 21, 2021 21:00:29 --

misha.physics в сообщении #1526685 писал(а):

именно визуально не очевидно, что эти сечения для одинаковых $\theta$ будут иметь одинаковую кривизну.

Согласен.

[misha.physics]

svv в сообщении #1526687 писал(а):

Производные $\frac{\partial f}{\partial u},\frac{\partial f}{\partial v}$ вообще не зависят от выбора кривой, проходящей через $P$. А производные $\frac{du}{ds},\frac{dv}{ds}$ определяются только направлением (или определяют направление).

Спасибо, понял.