Проскальзывание доски

[profilescit]

Доска расположена вертикально на поверхности с коэффициентом трения $\mu$. Ее очень слабо толкают так чтобы оно начало свое падение. Найти угол которая она будет делать с вертикалью когда начнется проскальзывание.



Пусть она отклонится на угол $\varphi$ от вертикали. Тогда из ЗСЭ получим $\frac{m g L}{2} (1 - \cos{\varphi}) = \frac{m L^2}{3} \frac{\omega^2}{2}$ или же $\omega^2 L = 3 g (1 - \cos{\varphi})$

До проскальзывания доска по сути вращается вокруг точки контакта с поверхностью. Тогда по длине доски будет действовать центробежная сила $ F = \int_0^L \omega^2 r dm = \int_0^L \omega^2 r \frac{m}{L} dr = \frac{M \omega^2 L}{2} = \frac{3 m g (1 - \cos{\varphi})}{2}$

Отлично, теперь в момент начала проскальзывания имеем равновесие сил по осям:

$F \cos{\varphi} + N = mg$
$F \sin{\varphi} = \mu N$

Откуда получим уравнения для угла проскальзывания $\sin{\varphi} - \sin{\varphi} \cos{\varphi} - \frac{2}{3} \mu + \mu \cos{\varphi} - \mu \cos^2{\varphi} = 0$ и ищем решения для $0 < \varphi < \frac{\pi}{2}$

Для $\mu = 0.15$ получаю ответ $\varphi \approx \frac{8 \pi}{45}$ и к сожалению, с правильным не совпадает.


Вопрос: где ошибка в моих рассуждениях?

[svv]

profilescit в сообщении #1521443 писал(а):

Отлично, теперь в момент начала проскальзывания имеем равновесие сил по осям:
$F \cos{\varphi} + N = mg$
$F \sin{\varphi} = \mu N$

Мне будет удобнее сформулировать в терминах динамики доски в инерциальной системе (связанной с поверхностью, на которую опирается доска).

Ошибка в том, что ускорение центра масс доски не сводится к центростремительному. Угловая скорость доски меняется, поэтому ускорение имеет составляющую, направленную перпендикулярно доске.

[AnatolyBa]

Даже если бы угловая скорость не менялась (скажем, вращение палки вокруг оси, без гравитации), интегрирование "центробежной силы" - не лучшая идея. Можно (хотя и не нужно) перейти в неинерциальную систему отсчета, там "центробежная сила" имеет право на существование, но куда она приложена - вот в чем вопрос, и не нужно ли в таком случае грамотно учитывать силы упругости?
В общем, надо искать другие пути.

[profilescit]

Учитывая ускорение перпендикулярно доске, получаю такую систему уравнений

$mg \cos{\varphi} - N \cos{\varphi} - \mu N \sin{\varphi} = F$
$mg \sin{\varphi} + \mu N \cos{\varphi} - N \sin{\varphi} = m \varepsilon \frac{L}{2}$
$mg \frac{L}{2} \sin{\varphi} = \frac{m L^2}{3} \varepsilon$

Правильно ли оно теперь?

[svv]

Если $F$ заменить на $\frac{mL}2\dot\varphi^2$, получится система, эквивалентная моей.