2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проскальзывание доски
Сообщение06.06.2021, 16:36 
Аватара пользователя


12/02/20
282
Доска расположена вертикально на поверхности с коэффициентом трения $\mu$. Ее очень слабо толкают так чтобы оно начало свое падение. Найти угол которая она будет делать с вертикалью когда начнется проскальзывание.



Пусть она отклонится на угол $\varphi$ от вертикали. Тогда из ЗСЭ получим $\frac{m g L}{2} (1 - \cos{\varphi}) = \frac{m L^2}{3} \frac{\omega^2}{2}$ или же $\omega^2 L = 3 g (1 - \cos{\varphi})$

До проскальзывания доска по сути вращается вокруг точки контакта с поверхностью. Тогда по длине доски будет действовать центробежная сила $ F = \int_0^L \omega^2 r dm = \int_0^L \omega^2 r \frac{m}{L} dr = \frac{M \omega^2 L}{2} = \frac{3 m g (1 - \cos{\varphi})}{2}$

Отлично, теперь в момент начала проскальзывания имеем равновесие сил по осям:

$F \cos{\varphi} + N = mg$
$F \sin{\varphi} = \mu N$

Откуда получим уравнения для угла проскальзывания $\sin{\varphi} - \sin{\varphi} \cos{\varphi} - \frac{2}{3} \mu + \mu \cos{\varphi} - \mu \cos^2{\varphi} = 0$ и ищем решения для $0 < \varphi < \frac{\pi}{2}$

Для $\mu = 0.15$ получаю ответ $\varphi \approx \frac{8 \pi}{45}$ и к сожалению, с правильным не совпадает.


Вопрос: где ошибка в моих рассуждениях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проскальзывание доски
Сообщение06.06.2021, 17:43 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
profilescit в сообщении #1521443 писал(а):
Отлично, теперь в момент начала проскальзывания имеем равновесие сил по осям:
$F \cos{\varphi} + N = mg$
$F \sin{\varphi} = \mu N$
Мне будет удобнее сформулировать в терминах динамики доски в инерциальной системе (связанной с поверхностью, на которую опирается доска).

Ошибка в том, что ускорение центра масс доски не сводится к центростремительному. Угловая скорость доски меняется, поэтому ускорение имеет составляющую, направленную перпендикулярно доске.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проскальзывание доски
Сообщение06.06.2021, 18:00 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Даже если бы угловая скорость не менялась (скажем, вращение палки вокруг оси, без гравитации), интегрирование "центробежной силы" - не лучшая идея. Можно (хотя и не нужно) перейти в неинерциальную систему отсчета, там "центробежная сила" имеет право на существование, но куда она приложена - вот в чем вопрос, и не нужно ли в таком случае грамотно учитывать силы упругости?
В общем, надо искать другие пути.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проскальзывание доски
Сообщение06.06.2021, 18:09 
Аватара пользователя


12/02/20
282
Учитывая ускорение перпендикулярно доске, получаю такую систему уравнений

$mg \cos{\varphi} - N \cos{\varphi} - \mu N \sin{\varphi} = F$
$mg \sin{\varphi} + \mu N \cos{\varphi} - N \sin{\varphi} = m \varepsilon \frac{L}{2}$
$mg \frac{L}{2} \sin{\varphi} = \frac{m L^2}{3} \varepsilon$

Правильно ли оно теперь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проскальзывание доски
Сообщение06.06.2021, 20:06 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Если $F$ заменить на $\frac{mL}2\dot\varphi^2$, получится система, эквивалентная моей. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group