Средняя скорость на половине пути

[misha.physics]

stalvoron, спасибо. Не уверен, правильно ли я вас понял, но да, можно разделить все время движения $t$ на шесть одинаковых промежутков, тогда за время $t/6$ тело со скоростью $v_1$ проходит такой же путь, как за время $t/3$ со скоростью $v_2$. Оставшееся время $t-t/6-t/3=t/2$ нужно поделить на два, мы получим $t/4$ и это будет время движения тела со скоростью $v_1$ на второй половине пути. То есть, на второй половине пути тело движется со скоростью $v_1$ время $t/4$, а со скоростью $v_2$ $-$ время $t/3$. Тогда средняя скорость на второй половине пути $\displaystyle\frac{v_1t/4+v_2t/3}{t/3+t/4}=3v_1/7+4v_2/7=200/7\approx28,6$. Это то, что очень наглядно графически проиллюстрировал sergey zhukov.

stalvoron в сообщении #1521216 писал(а):

Ну если изначально стояла задача упростить решение

Да, я просто изначально под "упрощением решения" понимал решение в общем виде, не вдаваясь в детальный анализ и не прибегая к использованию наглядных численных данных для скоростей. Видимо, из-за моей неточной постановки вопроса и возникло некоторое недопонимание того, что я имел ввиду под "упрощением решения".

[misha.physics]

Лукомор, кажется, аналитически, я понял вашу постановку задачи. Сначала мы коэффициентом $\alpha$ делим все время движения на два промежутка, где тело движется с $v_1$ и $v_2$. Потом коэффициентом $\beta$ мы делим весь путь на два участка и удаляем тот участок, на котором тело движется только с одной скоростью, оставляя при этом тот участок, где тело движется и с $v_1$, и с $v_2$. И нам нужно найти среднюю скорость на этом оставленном участке.

Картинки и объяснения к ним ещё не смотрел.

[stalvoron]

misha.physics в сообщении #1521250 писал(а):

Это то, что очень наглядно графически проиллюстрировал sergey zhukov.

Ага.

misha.physics в сообщении #1521247 писал(а):

тогда за время $t/6$ тело со скоростью $v_1$ проходит такой же путь, как за время $t/3$ со скоростью $v_2$.

А зачем нам "путь" который проходит "тело"? Если нужно найти среднюю величину какой то последовательности,( нам дана последовательность скоростей и именно среднюю скорость мы ищем), то в моём понимании, это отношение суммы членов к количеству этих самых членов.

misha.physics в сообщении #1521247 писал(а):

мы получим $t/4$ и это будет время движения тела со скоростью $v_1$ на второй половине пути. То есть, на второй половине пути тело движется со скоростью $v_1$ время $t/4$,

По мне так во второй половине пути со скоростью $v_1$ тело будет двигаться вначале $t/6$

[Лукомор]

misha.physics в сообщении #1521250 писал(а):

Сначала мы коэффициентом $\alpha$ делим все время движения на два промежутка, где тело движется с $v_1$ и $v_2$. Потом коэффициентом $\beta$ мы делим весь путь на два участка и удаляем тот участок, на котором тело движется только с одной скоростью,

Да, три участка у нас.
Два мы проходим с одной скоростью, и один с другой.
И мы переходим к двум участкам, где на одном - одна скорость, на другом - другая.
А третий - лишний.

[Лукомор]

misha.physics в сообщении #1521247 писал(а):

То есть, на второй половине пути тело движется со скоростью $v_1$ время $t/4$, а со скоростью $v_2$ $-$ время $t/3$.

Да, у вас сначала было $\alpha = \frac{2}{3}$, а потом стало
$\alpha = \frac{3}{7}$, после пересчета по $\beta$.

Даже не так.
Расстояние $\beta S$ тело пройдет за время $t_1 = \frac{5t}{12}$.
И остаток пути $S- \beta S = \frac{S}{2}$ за время $t - t_1 = \frac{7t}{12}$.
Тогда искомая средняя скорость равна
$\frac{S- \beta S}{t - t_1} = \frac{S}{2}/\frac{7t}{12} = \frac{200}{7}$.
Таким образом, основная трудность в этой задаче - как попроще найти $t_1$.

И уж совсем шикарно было бы найти, как новая средняя скорость зависит от старой.
То-eсть средняя скорость была равна $\frac{S}{t} = \frac{100}{3}$,
а стала равняться $\frac{6}{7}\cdot\frac{S}{t} = \frac{200}{7}$.
Вот как бы слепить эти $\frac{6}{7}$ из $\alpha$ и $\beta$?

[Лукомор]

stalvoron в сообщении #1521252 писал(а):

Если нужно найти среднюю величину какой то последовательности,( нам дана последовательность скоростей и именно среднюю скорость мы ищем), то в моём понимании, это отношение суммы членов к количеству этих самых членов.

То-есть, среднее арифметическое, видимо?
Это справедливо, да! - но только в случае, когда тело движется одинаковое время
с одной скоростью, и с другой скоростью.
Если же тело проходит некоторое расстояние с одной скоростью, и такое же расстояние с другой скоростью, то средняя скорость будет срелнее гармоническое этих двух скоростей.
А в нашем случае тело проходит с разными скоростями разные расстояния за разное время.
Тут тоже будет среднее какое-то, но среднее взвешенное...

[stalvoron]

Лукомор в сообщении #1521328 писал(а):

Это справедливо, да! - но только в случае, когда тело движется одинаковое время
с одной скоростью, и с другой скоростью.

Так я и рассматриваю случай когда тело движется одинаковое время $t/6$ но с разными скоростями .

Лукомор в сообщении #1521328 писал(а):

сли же тело проходит некоторое расстояние с одной скоростью, и такое же расстояние с другой скоростью,

В задаче про "расстояние " не упоминается. Указаны только промежутки времени и соответствующие этим промежуткам времени скорости. Поэтому я и воспримаю термин "средней скорости" применительно к промежутку времени $\frac{3t}{6} = \frac{t}{2}$. И да - как среднеарифметическое. Может я не уловил суть задачи.

[misha.physics]

Лукомор в сообщении #1521266 писал(а):

Вот как бы слепить эти $\frac{6}{7}$ из $\alpha$ и $\beta$?

Ну, в принципе, можно проследить как получается $6/7$ из $\alpha=2/3$ и $\beta=1/2$ в ходе решения. Правда, не знаю, будет ли это полезным.

stalvoron в сообщении #1521335 писал(а):

В задаче про "расстояние " не упоминается.

stalvoron в сообщении #1521335 писал(а):

Может я не уловил суть задачи.

Возможно. Задача была найти среднюю скорость на второй половине пути.

[Лукомор]

stalvoron в сообщении #1521335 писал(а):

Так я и рассматриваю случай когда тело движется одинаковое время $t/6$ но с разными скоростями .

А как Вы нашли это $t/6$?
В задаче есть только $\frac{2t}{3}$ и $\frac{t}{3}$

stalvoron в сообщении #1521335 писал(а):

В задаче про "расстояние " не упоминается.

В задаче есть расстояние $\frac{S}{2}$ которое тело проходит со скорстью $v_1$,
и расстояние $1 - \frac{S}{2}$, которое тело проходит с разными скоростями.

-- Вс июн 06, 2021 09:57:22 --

misha.physics в сообщении #1521360 писал(а):

Правда, не знаю, будет ли это полезным.

Это как раз и будет решением в общем виде.
То что Вы подразумевали:

misha.physics в сообщении #1520819 писал(а):

я подразумевал решение в общем виде,

[stalvoron]

Лукомор в сообщении #1521411 писал(а):

А как Вы нашли это $t/6$?
В задаче есть только $\frac{2t}{3}$ и $\frac{t}{3}$

.Да, я ошибся в логике.Объяснять в чём ошибся не стоит.Спасибо.

[misha.physics]

Лукомор в сообщении #1521411 писал(а):

Это как раз и будет решением в общем виде.

А, ну да, просто я уже согласился с тем, что одной формулой дать ответ не получиться, ну хорошо, тогда используем условия.

Пусть $s$ - общий путь, $t$ - общее время движения на пути $s$. На протяжении $t_1=\alpha t$ тело движется со скоростью $v_1$, а на протяжении $t_2=(1-\alpha)t$ - со скоростью $v_2$. Нужно найти средние скорости $v_1^*$ и $v_2^*$ движения на пути $s_1=\beta s$ и $s_2=(1-\beta)s$, соответственно. $\alpha$ и $\beta$ независимы и принадлежат интервалу $(0;1)$.

Средняя скорость $v$ на пути $s$ равна $v=\alpha v_1+(1-\alpha)v_2$, используем далее это обозначение, тогда решение задачи в общем виде с условием:

$\bullet$ При $\displaystyle\frac{\alpha v_1}{v}=\beta$ получаем $v_1^*=v_1,\qquad v_2^*=v_2$.
$\bullet$ При $\displaystyle\frac{\alpha v_1}{v}>\beta$ получаем $v_1^*=v_1,\qquad v_2^*=\displaystyle\frac{(1-\beta)v_1v}{v_1-\beta v}$.
$\bullet$ При $\displaystyle\frac{\alpha v_1}{v}<\beta$ получаем $v_1^*=\displaystyle\frac{\beta v_2v}{v_2-(1-\beta)v},\qquad v_2^*=v_2$.

Лукомор в сообщении #1521266 писал(а):

Вот как бы слепить эти $\frac{6}{7}$ из $\alpha$ и $\beta$?

Число $6/7$ лепится из $\alpha$ и $\beta$, а также, из $v_1$ и $v_2$, так: это $\displaystyle\frac{(1-\beta)v_1}{v_1-\beta v}$ при $\alpha=2/3$, $\beta=1/2$, $v_1=40$, $v_2=20$.

Лукомор, кстати, спасибо большое за интерес, развитие и помощь в теме.

[Лукомор]

misha.physics в сообщении #1521472 писал(а):

$\bullet$ При $\displaystyle\frac{\alpha v_1}{v}=\beta$ получаем $v_1^*=v_1,\qquad v_2^*=v_2$.
$\bullet$ При $\displaystyle\frac{\alpha v_1}{v}>\beta$ получаем $v_1^*=v_1,\qquad v_2^*=\displaystyle\frac{(1-\beta)v_1v}{v_1-\beta v}$.
$\bullet$ При $\displaystyle\frac{\alpha v_1}{v}<\beta$ получаем $v_1^*=\displaystyle\frac{\beta v_2v}{v_2-(1-\beta)v},\qquad v_2^*=v_2$.

Ну вот, все решается, оказывается, в одну формулу и три разных случая.
И, кстати, как и предсказывал Лукомор, в этих трех формулах нет ни одной альфы,
средняя скорость зависит сугубо от $\beta$, которую субъективно выбирает исследователь.

[Лукомор]

misha.physics в сообщении #1521472 писал(а):

кстати, спасибо большое за интерес, развитие и помощь в теме.

У меня нет никакого интереса к школьным задачам на движение материальной точки.
Тут скорее здоровое любопытство, как связать Вашу задачу с физической реальностью, из которой она выпадает напрочь, то-есть:"Простите, а зачем все это?!".

Попробую в двух словах объяснить, что я имею в виду.

Для меня не составляет труда придумать пример из жизни, который иллюстрирует Вашу задачу.
Первое, что приходит на ум, это мячик для гольфа.
Вот по нему ударили клюшкой, и он полетел по воздуху со скоростью $v_1$.
Поскольку задача явно учебная, полагаем скорость на всем протяжении полета постоянной в первом приближении, хотя это и не так, особенно для крутых траекторий, когда мячик запускается под большим углом к горизонту.
Где-то мячик ударился о землю, потеряв часть скорости, и, прокатившись по земле со скоростью $v_2 < v_1$, - внезапно упал в лунку.
В таком представлении я и рассматриваю Вашу задачу.

Теперь о наблюдателе.
Действительно, если из измерительных приборов в его арсенале есть секундомер,
он может измерить время полета шарика, и время его качения по земле,
и найти этот самый коэффициент $\alpha$, - какую часть общего времени движения шарик летит, и какую часть - катится.
Зная этот коэффициент, он может определить другой коэффициент - какую часть расстояния от места удара до лунки шарик пролетел, и какую часть расстояния он прокатился.
Поскольку коэффициент $\beta$ Вы приватизировали, я обозначаю это новое соотношение - $\gamma$.
$\alpha$ и $\gamma$ между собой связаны через отношение скоростей.
Так, для Вашего примера, при $\alpha = 2/3$ $\to$ $\gamma = 4/5$,.
Соответственно:
$\alpha = 1/2$ $\to$ $\gamma = 2/3$,
$\alpha = 1/3$ $\to$ $\gamma = 1/2$
и так далее...

Если же наблюдатель забыл дома секундомер, и взял с собой рулетку,
он может измерить соответствующие расстояния, и вычислить $\gamma$,
и по этому коэффициенту найти $\alpha$.
Это все, что мы можем узнать о движении шарика.

Вдруг, откуда ни возьмись, появляется $\beta$, и мне становится любопытно узнать, какой элемент физической реальности она представляет.
И я не нахожу в этом козффициенте никакого физического смысла.
Эта, внезапно свалившаяся на нас, бета - путает все карты.

И время шарика в пути, и сам пройденный путь изменяются, а с ними и средняя скорость прохождения этого нового пути за это новое время.
И все коэффициенты изменяются, причем не пропорционально.
При $\beta = 1/2$ имеем теперь $\alpha = 3/7$, которому соответствует $\gamma = 3/5$.

То-есть это получается уже совсем другая задача, с другим условием,
и этот $\beta$ оказывается просто коэффициентом связи между двумя разными задачами на движение шарика.
На движение собственно шарика этот коэффициент никак не влияет,
он по-прежнему после удара клюшкой падает в лунку.
А этот бета присутствует только в голове исследователя, но не в физической реальности вне этой головы.

Разумеется, все сказанное, чистейшей воды мое ИМХО.
У Вас могут быть свои резоны исследовать такой любопытный казус.

На мой вкус, интерес может представлять, в контексте задачи, - сравнить (графики) зависимости средней скорости, отдельно, - чисто от $\alpha$ , и, отдельно - чисто от $\gamma$, но не от $\beta$, при одном и том же соотношении скоростей.
Или, например, зависимости $\gamma$ от $\alpha$, и $\alpha$ от $\gamma$, при различных отношениях скоростей.
В таком аспекте проблема еще имеет какую-то связь с реальностью, и наверняка кем-то когда-то рассматривалась.

Извините за многословие...

[misha.physics]

Лукомор в сообщении #1521511 писал(а):

И я не нахожу в этом козффициенте никакого физического смысла.

Лукомор в сообщении #1521511 писал(а):

У Вас могут быть свои резоны исследовать такой любопытный казус.

Я думаю это просто школьная задача, на которую я наткнулся и мне стало интересно её решить. Это скорее упражнение по физике, во многом математическое. Теоретические, к тому же школьные задачи по физике не всегда имеют и не обязаны иметь глубокий "физический смысл" что бы это не значило. Такой смысл субъективен, например: один наблюдатель находится посередине между местом удара мячика для гольфа и лункой, а второй - возле лунки. И им обоим почему-то очень интересно, какая средняя скорость мячика между ними, они видят в этом физический смысл. Это я к тому, что почему бы и не поставить такую задачу, особенно для школьника, мне кажется она учит думать и анализировать. Эта задача по-моему хотя бы не абсурдная, а то видел я тоже школьную задачу: с какой скоростью должна лететь муха чтобы после удара об стенку полностью испарится. Считать, что тепловые характеристики мухи такие же как у воды...

[Лукомор]

misha.physics в сообщении #1521536 писал(а):

Я думаю это просто школьная задача,

Не обращайте внимания на мое старческое брюзжание. К Вам у меня никаких претензий нет.
Просто мне сильно не нравится любое использование внесистемной еденицы измерения "разы", или проценты, или другие безразмерные коэффициенты везде, от теории относительности до теории вероятностей.
Если бы были изначально какие-то $S - S_1 $ в метрах, и $t - t_1$ в секундах, и.т.п,
не было бы и половины этих всех заморочек.
А так-то, да! - задача есть задача, и ее нужно как-то решать...