Точная грань множества вещественных чисел

[Gecko]

Подобные темы поднимались не раз, но всё равно непонятно.
Читаю у Ильина-Позняка:
"...Теорема 2.1. Если множество вещественных чисел содержит хотя бы один элемент и ограничено сверху (снизу), то существует вещественное число $\[\bar{x}\]$ (число $\underline{x}$), которое является точной верхней (точной нижней) гранью этого множества.
Доказательство. Мы остановимся лишь на доказательстве существования точной верхней грани у любого ограниченного сверху множества, ибо существование точной нижней грани у любого ограниченного снизу множества доказывается совершенно аналогично.
Итак, пусть множество $\left\lbrace x \right\rbraceх$ ограничено сверху, т. е. существует такое вещественное число $M$, что каждый элемент $x$ множества $\left\lbrace x \right\rbraceх$ удовлетворяет неравенству

\[x\leqslant M\eqno(2.6)\]

Могут представиться два случая:
1°. Среди элементов множества $\left\lbrace x \right\rbraceх$ есть хотя бы одно неотрицательное вещественное число.
2°. Все элементы множества являются отрицательными вещественными числами. Эти случаи мы рассмотрим отдельно.
1°. Рассмотрим лишь неотрицательные вещественные числа, входящие в состав множества $\left\lbrace x \right\rbraceх$. Каждое из этих чисел представим в виде бесконечной десятичной дроби и рассмотрим целые части этих десятичных дробей. В силу (2.6) все целые части не превосходят числа $M$, а поэтому найдется наибольшая из целых частей, которую мы обозначим через $\[\bar{x_0}\]$. Сохраним среди неотрицательных чисел множества $\left\lbrace x \right\rbraceх$ те, у которых целая часть равна $\[\bar{x_0}\]$ и отбросим все остальные числа. У сохраненных чисел рассмотрим первые десятичные знаки после запятой. Наибольший из этих знаков обозначим через $\[\bar{x_1}\]$. Сохраним среди неотрицательных чисел множества $\left\lbrace x \right\rbraceх$ те, у которых целая часть равна $\[\bar{x_0}\]$, а первый десятичный знак равен $\[\bar{x_1}\]$, и отбросим все остальные числа. У сохраненных чисел рассмотрим вторые десятичные знаки после запятой. Наибольший из этих знаков обозначим через $\[\bar{x_2}\]$. Продолжая аналогичные рассуждения далее, мы последовательно определим десятичные знаки некоторого вещественного числа $\[\bar{x}\]$:

$$\[\bar{x}\ = \bar{x_0,}\ \bar{x_1}\ \bar{x_2...}\ \bar{x_n...}\]$$

Докажем, что это вещественное число $\[\bar{x}\]$ и является точной верхней гранью множества $\left\lbrace x \right\rbraceх$. ..."
Получается, что точная верхняя грань множества - это его максимальный элемент. Но это же не так. Вернее, не всегда так. В чем подвох? Помогите, пожалуйста.

[Null]

Не обязательно $ \[\bar{x}\]\in\{x\}$

[Gecko]

В том-то и дело. Но в приведенном доказательстве, насколько я понимаю, $\overline x \in \left\lbrace x\right\rbrace$.

[xagiwo]

Gecko
Примените алгоритм из доказательства на множестве, на котором он, по вашему, не будет работать

[Mikhail_K]

Gecko в сообщении #1521394 писал(а):

Но в приведенном доказательстве, насколько я понимаю, $\overline x \in \left\lbrace x\right\rbrace$.

Нет, если Вы внимательно посмотрите рассуждение.
Все цифры $\overline x_0,\,\overline x_1,\,\overline x_2\,\ldots$ берутся из тех или иных чисел множества $\{x\}$, но отсюда не следует, что составленное из них число $\overline x$ тоже будет принадлежать этому множеству.

Ну рассмотрите частный случай $\{x\}=(0,1)$ и пройдитесь по доказательству, имея в виду на каждом шаге этот частный случай, и увидите. На каждом шаге из множества будут отбираться числа из интервала $(0,1)$: сначала все, потом с одной девяткой после запятой, потом с двумя девятками, потом с тремя девятками, - всё это делается для выбора цифр для $\overline x$ - но итоговое число $\overline x=0.999\ldots=1$ не принадлежит ни одному из этих множеств, потому как не принадлежит интервалу.

Заметьте: в доказательстве не сказано - возьмём в качестве $\overline x$ число, принадлежащее всем множествам сохранённых чисел (т.е. оставшееся после всех отбрасываний); сказано более сложно. Если бы было сказано "$\overline x$ - число, оставшееся после всех отбрасываний", то это не сработало бы, потому что, например, в частном случае с интервалом $(0,1)$ такое число просто не нашлось бы, любое число из интервала будет отброшено рано или поздно. Но вот составить из цифр число $\overline x$ можно всегда.

[Gecko]

Mikhail_K, спасибо.
До последнего абзаца всё понятно.
А вот дальше неясно, каким образом, перебирая элементы множества и отбрасывая лишние, мы в итоге приходим к элементу, не принадлежащему этому множеству.

[пианист]

Так ведь то число, которое мы получаем, определяется отнюдь не как одно из чисел исходного (или промежуточного) множества. Посмотрите внимательно.

[xagiwo]

Gecko в сообщении #1521397 писал(а):

До последнего абзаца всё понятно.

Вы точно прочли второй абзац? :)

Mikhail_K в сообщении #1521396 писал(а):

Ну рассмотрите частный случай $\{x\}=(0,1)$ и пройдитесь по доказательству, имея в виду на каждом шаге этот частный случай ...

Вы это сделали? И что получилось?

[Gecko]

xagiwo в сообщении #1521399 писал(а):

Mikhail_K в сообщении #1521396 писал(а):

Ну рассмотрите частный случай $\{x\}=(0,1)$ и пройдитесь по доказательству, имея в виду на каждом шаге этот частный случай ...

Вы это сделали? И что получилось?

Ох, я уже несколько дней это делаю...
В общем, что я могу осознать, так это то, что процесс отбрасывания элементов длится в этом случае бесконечно, поэтому мы приходим к числу 0.(9), т.е. к 1. И хотя мы перебираем и отбрасываем элементы определенного множества, вследствие бесконечности этого процесса в итоге получается число, не входящее в это множество .

[xagiwo]

Gecko
Всё не так. Всё намного проще и конкретнее. Какое определение у $\overline{x}$? Что оно значит при $\{x\} = (0;1)$?

[Gecko]

xagiwo в сообщении #1521403 писал(а):

Gecko
Всё не так. Всё намного проще и конкретнее. Какое определение у $\overline{x}$? Что оно значит при $\{x\} = (0;1)$?

Точная верхняя грань $\overline{x}$ ограниченного сверху множества $\left\lbrace x\right\rbrace$ - это число, такое, что
1) $\forall x \in \left\lbrace x\right\rbrace$: $x \leqslant\overline{x}$;
2) $\forall \widetilde{x}\ < \overline{x}$ $\exists$ $x \in \left\lbrace x\right\rbrace : x > \widetilde{x}$.
Для $\{x\} = (0;1)$ получается, что, во-первых, элементы множества должны быть меньше 1, и, во-вторых, для любого числа, меньшего 1, найдется элемент во множестве $\{x\}$, который больше этого числа.

[xagiwo]

Gecko
Посмотрите внимательно на доказательство. Там у $\overline{x}$ другое определение. То, что $\overline{x}$ совпадает с ТВГ, доказывается, а не входит в определение.

[Mikhail_K]

Gecko
Мы не выбираем число $\overline x$ из исходного множества.
Мы собираем его из цифр чисел, принадлежащих исходному множеству.
Откуда вообще могла появиться мысль, что $\overline x$ должен принадлежать этому множеству?
Мало ли что из цифр можно собрать.
Вот множество $\{12,23\}$. Из цифр чисел, которые принадлежат этому множеству, можно собрать число $123$ (схема сборки другая, но не суть), но оно множеству не принадлежит и не обязано принадлежать. В чём вопрос вообще?

[Gecko]

Mikhail_K в сообщении #1521409 писал(а):

Gecko
Мы не выбираем число $\overline x$ из исходного множества.
Мы собираем его из цифр чисел, принадлежащих исходному множеству.

Да, это стало понятно. Просто если мы в процессе сборки числа $\overline x$ дошли до, скажем, 0.999, то число 0.999 присутствует и в нашем исходном множестве. Ведь $\overline x$ мы получаем последовательно из цифр таких чисел как 0, 0.9, 0.99, 0.999 и т.д..

[Null]

Gecko в сообщении #1521412 писал(а):

то число 0.999 присутствует и в нашем исходном множестве.

Не обязательно.