Производная по направлению кривой

[TOTAL]

ErVynShred в сообщении #1521280 писал(а):

Конечно касательные векторы образуют линейное пространство, не так выразился, извиняюсь, в общем: как я понял, можно рассмотреть радиус-вектор точки $P = \left( 1, 2 \right)$ кривой, его компоненты соответственно будут равны $r = \left( 1, 2 \right)$, тогда единичный вектор $I = \frac{1 \frac{\partial}{\partial x} + 2 \frac{\partial}{\partial y}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{\partial}{\partial x} + 2 \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{\partial}{\partial y}$, где $\sqrt{5} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \left\lvert r \right\rvert$ так?

Полный бред. Здесь вообще не фигурирует кривая, вдоль которой ищется производная.

[ErVynShred]

Всё, получилось, выбрал ваш параметр $y$, с ним нашёл компоненты касательного вектора к кривой(взял производную по параметру от $x$ и $y$, через него единичный вектор, подставил параметризованные значения в функцию, домножил на компоненту вектора(они обе одинаковые получаются $\frac{\sqrt{2}}{2}$), спасибо.

[svv]

ErVynShred в сообщении #1521248 писал(а):

найдите производную функции $f = \ln \left( x^2 + y^2 \right)$ в точке $P = \left( 1, 2 \right)$ по направлению кривой $y^2=4x$

Производная по направлению в точке требует вектора. Если кривая $\gamma(t)$ задана параметрически, из всех векторов, касательных к кривой в точке, естественно выделяется тот, который соответствует параметризации, то есть $\frac{d}{dt}$. Но у Вас кривая задана неявно, поэтому касательный вектор определён с точностью до множителя. Даже если ограничиться единичными векторами, остаётся произвол в выборе одного из двух противоположных направлений.

ErVynShred в сообщении #1521248 писал(а):

Находил, исходя из алгебраического определения касательного вектора, как оператора дифференцирования функции $f \in \С^\infty \left( M \right)$ в ТОЧКЕ, сопоставляющего ей производную по направлению касательного вектора: Пусть $p = \gamma \left(0 \right)$
${\frac{d}{d t}}f \left( {\gamma \left(t \right)} \right) = X^{\alpha} \left( p \right) \frac{\partial f \left( \varphi^{-1} \circ \gamma \right)}{\partial x^{\alpha}}$, где $\varphi \colon \gamma \left( 0 \right) \mapsto x^i \left( 0 \right)$.

Я бы не советовал изучать дифференциальную геометрию раньше аналитической (из которой и задача).