Производная по направлению кривой

[ErVynShred]

Здравствуйте, взял я простую задачу, и начались трудности: найдите производную функции $f = \ln \left( x^2 + y^2 \right)$ в точке $P = \left( 1, 2 \right)$ по направлению кривой $y^2=4x$.
Находил, исходя из алгебраического определения касательного вектора, как оператора дифференцирования функции $f \in \С^\infty \left( M \right)$ в ТОЧКЕ, сопоставляющего ей производную по направлению касательного вектора: Пусть $p = \gamma \left(0 \right)$
${\frac{d}{d t}}f \left( {\gamma \left(t \right)} \right) = X^{\alpha} \left( p \right) \frac{\partial f \left( \varphi^{-1} \circ \gamma \right)}{\partial x^{\alpha}}$, где $\varphi \colon \gamma \left( 0 \right) \mapsto x^i \left( 0 \right)$.
Вот что сделал: ввёл сначала параметризацию кривой: $x = r \cos t$, $y = r \sin t$, подставил в уравнение кривой и выразил $x \left(t \right) = \frac{r^2 \sin^2 t}{4}$ , $y \left(t \right) = \sqrt{4 r \cos t}$, затем подставил в функцию : $f \left( {x^i \left(t \right)} \right) = \ln \left( \frac{25 \cdot \sin^4 t}{16} + 4 \sqrt{5} \cos t \right)$, т.к $r = \sqrt{1^2 + 2^2}$, теперь сама производная ${\frac{d}{d t}}f \left( {x^i \left(t \right)} \right) = 0$ после подстановки $t = 0$, настоящий ответ $3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{5}$, может не надо было вводить параметризацию, или у меня подстановка неправильная?

[TOTAL]

ErVynShred в сообщении #1521248 писал(а):

в точке $P = \left( 1, 2 \right)$ по направлению кривой $y^2=4x$.

Найдите единичный вектор в этом направлении.

[мат-ламер]

ErVynShred в сообщении #1521248 писал(а):

по направлению кривой $y^2=4x$.

ErVynShred в сообщении #1521248 писал(а):

Вот что сделал: ввёл сначала параметризацию кривой: $x = r \cos t$, $y = r \sin t$,

Поясните ход вашей мысли на счёт параметризации. Откуда взялся именно такой её вид?

[demolishka]

ErVynShred в сообщении #1521248 писал(а):

ввёл сначала параметризацию кривой: $x = r \cos t$, $y = r \sin t$

У Вас что, кривая - окружность?

Дальнейшее преобразование

TOTAL в сообщении #1521254 писал(а):

подставил в уравнение кривой и выразил $x \left(t \right) = \frac{r^2 \sin^2 t}{4}$ , $y \left(t \right) = \sqrt{4 r \cos t}$, затем подставил в функцию : $f \left( {x^i \left(t \right)} \right) = \ln \left( \frac{25 \cdot \sin^4 t}{16} + 4 \sqrt{5} \cos t \right)$, т.к $r = \sqrt{1^2 + 2^2}$, теперь сама производная ${\frac{d}{d t}}f \left( {x^i \left(t \right)} \right) = 0$ после подстановки $t = 0$,

вообще не объяснимо.

Давайте всё же начнём с определения "производной функции в точке по направлению кривой".

[ErVynShred]

Да, с параметризацией нехорошо вышло, что насчёт "производной функции по направлению кривой" - это эквивалентно предложению "вдоль касательного вектора к кривой". Касательный вектор отождествляется с дифференциальным оператором(конечно, это всё доказывается), сопоставляющим функции производную по направлению этого вектора - направлению кривой. Сама функция зависит от точки на многообразии, но некоторая точка $b \in M$, является частью кривой $\gamma \left(t \right)$ на многообразии, т.е. $\gamma \colon t \in \mathbb{R} \mapsto \gamma \left(t \right)$, пусть $t \in \left\lfloor 0, 1 \right\rfloor$, условимся, что $b = \gamma \left(0 \right)$ соответственно $\gamma \colon t_{0}=0 \mapsto \gamma \left(0 \right)=b$
К слову, может такая параметризация подошла бы: $x \left(t \right)= \tg^2 t$, $y \left(t \right) = 2 \sqrt{\tg t}$.
Я хотел вычислить производную полностью исходя из определения, но я что-то недопонимаю.

[TOTAL]

ErVynShred в сообщении #1521261 писал(а):

К слову, может такая параметризация подошла бы: $x \left(t \right)= \tg^2 t$, $y \left(t \right) = 2 \sqrt{\tg t}$.

В качестве параметра можн взять $y$.

[ErVynShred]

В смысле заменить $x = y$ или параметризовать только $y$(скорее всего, нет)?

[TOTAL]

ErVynShred в сообщении #1521263 писал(а):

В смысле заменить $x = y$ или параметризовать только $y$(скорее всего, нет)?

В прямом смысле. Если без буквы $t$ не можете обойтись, то $x=t^2/4, \; y=t$

[ErVynShred]

Попробовал эту параметризацию, но корня нигде не вылезло в ответе

[TOTAL]

ErVynShred в сообщении #1521267 писал(а):

Попробовал эту параметризацию, но корня нигде не вылезло в ответе

Покажите здесь свои попытки, в которых не вылез корень.

[demolishka]

ErVynShred в сообщении #1521261 писал(а):

вдоль касательного вектора к кривой

У кривой много касательных векторов. Какой же тут имеется ввиду?

[ErVynShred]

Кривая в $\mathbb{R}^2$, количество их подсократится, не оговорено какой именно касательный вектор, я думал, что вектор "скорости" кривой, как его называют. Да и я так думал: если касательный вектор к кривой $\gamma \left(t \right)$, это класс эквивалентности кривых в точке $p$,
$X_{p} = {\left\lfloor {\gamma \left(t \right)} \right\rfloor}_{p}$, то должно существовать 2 касательных вектора к кривой, в данной точке, при условии, что мы в $\mathbb{R}^2$, правильно ли это?
Касательно решения, выбора параметризаций, я считаю эту производную чисто из определения касательного вектора, т.е я параметризую кривую, рассматриваю функцию в данной точке кривой - подставляю в неё параметризованные координаты кривой, а затем беру, по правило производной сложной функции, производную по параметру. Я это всё взял из равенства $X_{p} f = \dfrac{d}{d t} f \left(x^i {\left(t \right)} \right) = X^i \left(p \right) \dfrac{\partial}{\partial x^i} \left( f \circ \varphi^{-1} \right)$

[TOTAL]

ErVynShred в сообщении #1521272 писал(а):

Касательно решения, выбора параметризаций, я считаю эту производную чисто из определения касательного вектора, т.е я параметризую кривую, рассматриваю функцию в данной точке кривой - подставляю в неё параметризованные координаты кривой, а затем беру, по правило производной сложной функции, производную по параметру.

Так получите правильный результат лишь в случае естественной параметризации, т.е. когда параметром является длина кривой. Касательные векторы отличаются длиной, больше ничем. Это в Ваших вычислениях не учтено. Поэтому сразу было предложено найти ЕДИНИЧНЫЙ касательный вектор.

[demolishka]

ErVynShred в сообщении #1521272 писал(а):

правильно ли это?

Касательные векторы образуют линейное пространство...

TOTAL в сообщении #1521273 писал(а):

Поэтому сразу было предложено

И это было поспешное предложение.

[ErVynShred]

Конечно касательные векторы образуют линейное пространство, не так выразился, извиняюсь, в общем: как я понял, можно рассмотреть радиус-вектор точки $P = \left( 1, 2 \right)$ кривой, его компоненты соответственно будут равны $r = \left( 1, 2 \right)$, тогда единичный вектор $I = \frac{1 \frac{\partial}{\partial x} + 2 \frac{\partial}{\partial y}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{\partial}{\partial x} + 2 \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{\partial}{\partial y}$, где $\sqrt{5} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \left\lvert r \right\rvert$ так?