2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 lcm(a,b,c)=a^2+b^2+c^2
Сообщение19.03.2021, 19:43 


24/12/13
351
Натуральные $a,b,c$ удовлетворяют $$НОК[a,b,c]=a^2+b^2+c^2$$
Докажите, что $6|a$

Тут [a,b,c] - наименьшее общее кратное.

 Профиль  
                  
 
 Re: lcm(a,b,c)=a^2+b^2+c^2
Сообщение19.03.2021, 20:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну, поехали. Сначала с тройкой.
Мыслимые варианты:
    • Никто не делится на 3 → все квадраты вида 3n+1, сумма квадратов делится на 3, левая часть нет → ситуация невозможна.
    • Только одно делится на 3 → теперь левая часть делится на 3, правая даёт остаток 2 → ситуация невозможна.
    • Только два делятся на 3 → левая часть делится, правая даёт остаток 1 → ситуация невозможна.
    • Все три делятся на 3. Только это и остаётся.

 Профиль  
                  
 
 Re: lcm(a,b,c)=a^2+b^2+c^2
Сообщение19.03.2021, 21:16 


24/12/13
351
Да, теперь осталось это $2|a$

 Профиль  
                  
 
 Re: lcm(a,b,c)=a^2+b^2+c^2
Сообщение03.06.2021, 14:30 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
rightways в сообщении #1510092 писал(а):
Да, теперь осталось это $2|a$
Предположим, что все три числа нечетные, тогда правая часть (ПЧ) равенства это число вида $8k+3$. Это значит, что в его разложении на простые множители содержится простое число вида $p_0=4m-1$ в нечетной степени. Рассмотрим варианты:
1. $p_0|a; p_0\not | b,c$. Исключаем, так как $p_0\not | (b^2+c^2)$ и ПЧ не делится на $p_0$.
2. $p_0| a,b; p_0\not | c$. Исключаем, так как ПЧ не делится на $p_0$.
3. $p_0| a,b,c$. Здесь две возможности: а) степени, с которыми $p_0$ входит в разложения чисел $a,b,c$ на простые множители не все равны, но тогда ПЧ содержит $p_0$ в четной степени, что противоречит предположению о $p_0$. б) степени, с которыми $p_0$ входит в разложения чисел $a,b,c$ все равны некоторому числу $n$, тогда $lcm(a,b,c)$ содержит $p_0$ в степени $n$, а ПЧ содержит $p_0$ в степени $l\geq 2n$, что также невозможно.
Таким образом одно из чисел $a,b,c$(или все три) должно делиться на 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: lcm(a,b,c)=a^2+b^2+c^2
Сообщение03.06.2021, 21:57 


02/04/18
240
Машинный поиск подобных троек (например, наименьшая - 90, 174, 312) позволяет предположить, что все-таки, все три числа четны. Но доказать это...

 Профиль  
                  
 
 Re: lcm(a,b,c)=a^2+b^2+c^2
Сообщение03.06.2021, 23:25 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Действительно, можно доказать, что все три числа должны быть четные.
Пусть $a$- четное, а $b,c$- нечетные. Тогда ПЧ число вида $4k+2$. Отсюда следует, что $a=2(4k_a\pm 1), b=4k_b\pm 1, c=4k_c\pm 1$. Из вида чисел $a,b,c$ получим, что ПЧ=$8m-2=2(4m-1)$. Отсюда как и раньше заключаем, что ПЧ содержит в разложении на простые множители некоторое простое число $p_0=4l-1$ в нечетной степени. Рассматривая варианты 1,2,3, как и раньше, видим, что они не проходят. Остается возможность, когда все три числа четные.

 Профиль  
                  
 
 Re: lcm(a,b,c)=a^2+b^2+c^2
Сообщение04.06.2021, 04:39 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Понятно, что если $d=\gcd(a,b,c)$, то $a=a'd$, $b=b'd$, $c=c'd$, где $a',b',c'$ попарно взаимно просты. Поэтому $a'b'c' = d(a'^2+b'^2+c'^2)$, что для фиксированного $d$ потенциально может дать серию решений аля числа Маркова.

 Профиль  
                  
 
 Re: lcm(a,b,c)=a^2+b^2+c^2
Сообщение04.06.2021, 21:02 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Пример такой серии для $d=6$ (даже проще чем у Маркова):
Код:
(13, 137, 204), (13, 204, 305), (204, 305, 10357), (204, 10357, 351833), ...

Здесь числа $137, 305, 10357, 351833, \dots$ удовлетворяют соотношению: $x_{n+1} = 34x_n - x_{n-1}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group