lcm(a,b,c)=a^2+b^2+c^2

[rightways]

Натуральные $a,b,c$ удовлетворяют

$$НОК[a,b,c]=a^2+b^2+c^2$$

Докажите, что $6|a$

Тут [a,b,c] - наименьшее общее кратное.

[ИСН]

Ну, поехали. Сначала с тройкой.
Мыслимые варианты:

• Никто не делится на 3 → все квадраты вида 3n+1, сумма квадратов делится на 3, левая часть нет → ситуация невозможна.
• Только одно делится на 3 → теперь левая часть делится на 3, правая даёт остаток 2 → ситуация невозможна.
• Только два делятся на 3 → левая часть делится, правая даёт остаток 1 → ситуация невозможна.
• Все три делятся на 3. Только это и остаётся.

[rightways]

Да, теперь осталось это $2|a$

[mihiv]

rightways в сообщении #1510092 писал(а):

Да, теперь осталось это $2|a$

Предположим, что все три числа нечетные, тогда правая часть (ПЧ) равенства это число вида $8k+3$. Это значит, что в его разложении на простые множители содержится простое число вида $p_0=4m-1$ в нечетной степени. Рассмотрим варианты:
1. $p_0|a; p_0\not | b,c$. Исключаем, так как $p_0\not | (b^2+c^2)$ и ПЧ не делится на $p_0$.
2. $p_0| a,b; p_0\not | c$. Исключаем, так как ПЧ не делится на $p_0$.
3. $p_0| a,b,c$. Здесь две возможности: а) степени, с которыми $p_0$ входит в разложения чисел $a,b,c$ на простые множители не все равны, но тогда ПЧ содержит $p_0$ в четной степени, что противоречит предположению о $p_0$. б) степени, с которыми $p_0$ входит в разложения чисел $a,b,c$ все равны некоторому числу $n$, тогда $lcm(a,b,c)$ содержит $p_0$ в степени $n$, а ПЧ содержит $p_0$ в степени $l\geq 2n$, что также невозможно.
Таким образом одно из чисел $a,b,c$(или все три) должно делиться на 2.

[Dendr]

Машинный поиск подобных троек (например, наименьшая - 90, 174, 312) позволяет предположить, что все-таки, все три числа четны. Но доказать это...

[mihiv]

Действительно, можно доказать, что все три числа должны быть четные.
Пусть $a$- четное, а $b,c$- нечетные. Тогда ПЧ число вида $4k+2$. Отсюда следует, что $a=2(4k_a\pm 1), b=4k_b\pm 1, c=4k_c\pm 1$. Из вида чисел $a,b,c$ получим, что ПЧ=$8m-2=2(4m-1)$. Отсюда как и раньше заключаем, что ПЧ содержит в разложении на простые множители некоторое простое число $p_0=4l-1$ в нечетной степени. Рассматривая варианты 1,2,3, как и раньше, видим, что они не проходят. Остается возможность, когда все три числа четные.

[maxal]

Понятно, что если $d=\gcd(a,b,c)$, то $a=a'd$, $b=b'd$, $c=c'd$, где $a',b',c'$ попарно взаимно просты. Поэтому $a'b'c' = d(a'^2+b'^2+c'^2)$, что для фиксированного $d$ потенциально может дать серию решений аля числа Маркова.

[maxal]

Пример такой серии для $d=6$ (даже проще чем у Маркова):

(13, 137, 204), (13, 204, 305), (204, 305, 10357), (204, 10357, 351833), ...

Здесь числа $137, 305, 10357, 351833, \dots$ удовлетворяют соотношению: $x_{n+1} = 34x_n - x_{n-1}$.