Доказать, что оператор - проектор

[artempalkin]

svv в сообщении #1520967 писал(а):

(просто я исходил из того, что "непересечение" у Вас уже есть)

Да, я так и понял, но хотел на всякий случай уточнить (вдруг прямая сумма следовало как-то неочевидно иначе из ваших записей)

[svv]

svv в сообщении #1520967 писал(а):

Ну а есть прямая сумма — есть параллельная проекция.

Поскольку мы стремимся к абсолютной ясности (а не рассказываем анекдоты), я думаю, не испорчу историю, если распишу это явно.

Пусть $V=S\oplus T$, так что для любого $v\in V$ существует единственное разложение $v=v_S+v_T$, где $v_S\in S,\; v_T\in T$.
Тогда проектор на $S$ параллельно $T$ — это линейный оператор из $V$ в $V$, действующий по правилу $v\mapsto v_S$. Так я понимаю Ваше определение.

Так вот, у нас $S=\operatorname{Im}P,\; T=\operatorname{Ker}P$, и выше было показано, что $Pv=v_S$.

[artempalkin]

svv в сообщении #1520970 писал(а):

Пусть $V=S\oplus T$, так что для любого $v\in V$ существует единственное разложение $v=v_S+v_T$, где $v_S\in S,\; v_T\in T$.
Тогда проектор на $S$ параллельно $T$ — это линейный оператор из $V$ в $V$, действующий по правилу $v\mapsto v_S$. Так я понимаю Ваше определение.

Да, все верно. Я не стал расписывать, т.к. в целом это общепринятые обозначения ("параллельно подпространству" и прочее).
Соответственно, нам достаточно доказать, что образ и ядро складываются прямо, и что образы элементов образа - это сами эти элементы. Что мы и сделали :) Спасибо большое!