Найти ток в перемычке (через ЭДС).

[Kevsh]

В горизонтальной плоскости расположены прямой проводник с током $I$ и перпендикулярные ему проводящие шины, замкнутые на сопротивление $R$. Расстояние между шинами $l$. По шинам без трения и нарушения контакта с постоянной скоростью $v$ движется перемычка сопротивлением $R_0$. Определите закон изменения тока в перемычке, если в начальный момент времени она находилась на расстоянии $b$ от проводника с током.

Я не очень понимаю, как решить эту задачу. Я могу найти ЭДС, для этого нужно найти $B(t)$, а также посчитать площадь, пересеченную перемычкой за время движения, найти таким образом поток. Это я сделал. Далее я могу взять от всего этого производную по $t$ и получить ЭДС, это я тоже сделал. Вот У меня, по сути, есть напряжение на этой цепи, нужно посчитать ток в перемычке.
Вот, как поступил я, учитывая ответ в конце задачника, сделал я неправильно. Для начала я посчитал ток на всём участке. У меня есть оба сопротивления, так что я вывел общее, подключение тут параллельное. Я взял мою ЭДС и поделил на это сопротивление. Далее я нашёл формулу, по которой можно вычислить ток на ветви, там нужно умножить общий ток на сопротивление противоположного участка, а затем поделить на сумму сопротивлений цепи. А как нужно сделать?

[svv]

Kevsh в сообщении #1520223 писал(а):

подключение тут параллельное

[Kevsh]

svv
Да, действительно, если это последовательное подключение, то всё больше походит на правду, хотя ответ всё равно немного отличается.

[svv]

Как именно отличается?
В задачнике ответ $i=\dfrac{\mu_0 I\ell v}{2\pi(R+R_0)(b+vt)}$, а у Вас?

[Kevsh]

svv
Ну вот я нашел $B(t)=\frac{\mu_0 I}{2\pi (b+vt)}$ (через закон полного тока). Далее нашёл поток: $\phi =B(t)\cdot lvt=\frac{\mu_0 Ilvt}{2\pi (b+vt)}$. Потом нашёл заряд, поделив на общее сопротивление: $q =\frac{\mu_0 Ilvt}{2\pi (b+vt)(R+R_0)}$. Чтобы найти ток, нужно найти производную по $t$. В учебнике просто убрали $t$ в числителе и всё, но ведь понятно, что в знаменателе всё должно возвестись в квадрат, вот и получается отличие. Только вот непонятно, из-за чего.

[svv]

Kevsh в сообщении #1520230 писал(а):

Далее нашёл поток: $\phi =B(t)\cdot lvt=\frac{\mu_0 Ilvt}{2\pi (b+vt)}$.

Тут я не очень понял, как такой поток получился, ведь $B$ зависит от $r$ (расстояние от проводника), значит, интеграл $\int B\;dS$ не получится взять, умножив только текущее значение на что бы то ни было.

[Kevsh]

svv
Я только что понял, что сделал чушь какую-то. Я нашел площадь, перемножив $vt$ и $l$, а потом просто умножил на $B(t)$, тут поле неоднородное, делать так нельзя. Тогда нужно разбить на маленькие участки, то есть использовать уже $dt$. Тогда мне не очень понятно, какие пределы интегрирования. А если взять $B(x)=\frac{\mu_0I}{2\pi x}$ и $dS=ldx$, то после интегрирования от $b$ до какой-то $x_1$ получим вообще логарифм, видимо в этом месте проблема.

-- 27.05.2021, 19:46 --

svv
Попробовал проинтегрировать по $dx$ от $b$ до $b + vt$, получилось то же самое, что и в ответе, только в числителе осталась $b$. Не очень понятно, как она могла исчезнуть.

[svv]

Пусть $r(t)$ — положение перемычки в момент $t$.

Чтобы найти $\Phi$, надо взять интеграл:
$\Phi=\int\limits_S B\;dS=\ell\int\limits_b^r B(\tilde r)d\tilde r$
Математики говорят, нехорошо одну и ту же букву $r$ использовать и как предел, и как переменную интегрирования, поэтому под интегралом $\tilde r$ с тильдой.

Чтобы найти $\mathcal E$, надо взять производную:
$\mathcal E=\frac{d\Phi}{dt}=\frac{d\Phi}{dr}\frac{dr}{dt}=v\frac{d\Phi}{dr}$
Использована формула для производной сложной функции.

Так вот, можно схитрить и не делать ни того, ни другого, пользуясь формулой "производная интеграла по верхнему пределу":
$\mathcal E(t)=v\ell\frac{d}{dr}\int\limits_b^{r(t)} B(\tilde r)d\tilde r=v\ell B(r(t))$
Убедитесь, что понимаете каждый шаг.

-- Чт май 27, 2021 18:56:10 --

Kevsh в сообщении #1520236 писал(а):

после интегрирования от $b$ до какой-то $x_1$ получим вообще логарифм

Да, получим. А потом он исчезнет при дифференцировании. Ну а я показал, как этого вообще не делать.

[Kevsh]

svv
Да, ваше решение я понял, большое спасибо. Однако всё таки не очень понятно, почему у меня не совсем сходится. У нас же получается при расчёте потока $\ln{\frac{b+vt}{v}}$, верно? Как $b$ исчезает при взятии производной? По идее, если она сокращается, то она должна стоять в знаменателе, но ей там просто неоткуда взяться...

[svv]

Вот Вы интегрируете $B(r)=\frac{\mu_0I}{2\pi r}$ по $r$. Не спешите на этом этапе подставлять зависимость $r(t)$. Что получается?

[Kevsh]

svv
Ну если взять неопределённый интеграл, то получится $\frac{\mu_0 I}{2\pi}\ln(r)$

[svv]

Да, а если определённый (в пределах от $b$ до $r$), то $\frac{\mu_0 I}{2\pi}(\ln(r)-\ln(b))$
Второе слагаемое исчезнет при дифференцировании.
Поток $\Phi=\frac{\mu_0 I\ell}{2\pi}(\ln(r)-\ln(b))$ надо продифференцировать по $t$. Вот теперь уже можно подставить $r=b+vt$.

[Kevsh]

svv
теперь понял, еще раз, большое спасибо.

[svv]

Не за что. Главное в жизни — складывать векторы по векторному закону!