2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Несобственный интеграл
Сообщение26.05.2021, 18:55 


16/03/11
844
No comments
Вычислить интеграл $$\int_0^{1} \frac{\ln(1-x+x^2)}{x-x^2}\,{\rm d}x. $$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение26.05.2021, 19:26 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение27.05.2021, 13:15 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)» Все в порядке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение27.05.2021, 14:03 
Заслуженный участник


20/12/10
9055
Кстати, Maple, если его слегка пнуть, вычисляет этот интеграл. Умный, собака.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение27.05.2021, 16:45 


02/04/18
240
Ну, можно разложить сначала на сумму дробей, увидеть, что интегралы от них равны, а потом взять по частям и получить:
$2\int_0^1\frac{\ln{(1-x+x^2)}}{x}dx-2\int_0^1\ln{x}\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx$

А второе есть в Рыжике (пункт 4.233).

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение27.05.2021, 17:41 
Заслуженный участник


20/12/10
9055
Dendr в сообщении #1520212 писал(а):
А второе есть в Рыжике (пункт 4.233).
Нет, Рыжик это тот же Maple. На самом деле все гораздо проще.
Dendr в сообщении #1520212 писал(а):
а потом взять по частям
Вот этого не нужно делать. А нужно домножить $1-x+x^2$ на $1+x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение27.05.2021, 21:21 


16/03/11
844
No comments
nnosipov в сообщении #1520218 писал(а):
Dendr в сообщении #1520212 писал(а):
А второе есть в Рыжике (пункт 4.233).
Нет, Рыжик это тот же Maple. На самом деле все гораздо проще.
Dendr в сообщении #1520212 писал(а):
а потом взять по частям
Вот этого не нужно делать. А нужно домножить $1-x+x^2$ на $1+x$.

Я так понял комбинация 2-х идей, разбить на два интеграла и домножение на $1+x$, решает задачу.

Мой подход заключался введением параметра $$I(b)=\int_0^{1} \frac{\ln(1-b(x-x^2))}{x-x^2}\,{\rm d}x, I(0)=0$$ Далее, взяв производную, получается не очень сложно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group