Оценить силу взаимодействия

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1519720 писал(а):

Точнее говоря, надо применить формулу для диполя не "вдоль", а "поперёк".

Попробовал вывести элементарными методами формулу притяжения для поперечного диполя. Получилось (в СГСЭ): $F=\frac{3}{2}qQ \frac{R^2}{L^4}$ . Подставляя сюда ранее найденное выражение для $Q$ , получаем: $F=\frac{3}{2}q^2\frac{R^5}{L^7}$ . Асимптотика сошлась с ответом. Но мы считали в СГСЭ. Поэтому числовые множители отличаются. (Хотя я мог ошибиться с коэффициентом в формуле для поперечного диполя. Надо будет проверить.)

[profilescit]

мат-ламер у меня вроде как получилось, может даже немного проще.

Предположим весь наш заряд $-Q$ находится в центре, а заряд $+Q$ распределен равномерно на самом краю диска. Тогда результирующая сила будет результирующая от притяжения заряда в центре и отталкивание заряда на краю диска.

$F = \frac{k q Q}{L^2} - \frac{k Q q}{L^2 + R^2} \frac{L}{\sqrt{L^2 + R^2}} \approx \frac{k q^2}{L^2} \frac{r^5}{L^5}$

[sergey zhukov]

profilescit
Хм. Я думал, что в этой задаче для $L>>R$ в первом приближении от распределения заряда по диску сила притяжения не зависит. Но тогда действительно сила получается нулевой, т.е. это приближение тут слишком грубое. Да, для закона типа $L^{-7}$ оно явно не подходит.

[DimaM]

profilescit в сообщении #1519756 писал(а):

Предположим весь наш заряд $-Q$ находится в центре, а заряд $+Q$ распределен равномерно на самом краю диска.

А это ничего, что диск в таком случае не будет эквипотенциальным?
Или задача исключительно в том, чтоб подогнать под "ответ"?

[мат-ламер]

profilescit в сообщении #1519756 писал(а):

Предположим весь наш заряд $-Q$ находится в центре, а заряд $+Q$ распределен равномерно на самом краю диска.

Вообще говоря, это кажется сомнительным. Хотя бы потому, что силовые линии поля должны быть перпендикулярны поверхности диска. Поэтому распределение зарядов скорее всего будет непрерывным по диску, что уменьшит силу взаимодействия. Но задача состояла в нахождении асимптотики этого взаимодействия. Случайно мы получили асимптотику, совпадающую с ответом по порядку величины. Факт, что этот порядок должен сохраняться при непрерывном распределении зарядов, отнюдь не очевиден. Простые задачи подобного рода решаются в учебниках физики методом электрических изображений. Но прямое использование этого метода тут не проходит. Пока писал, в голову пришла такая модель. Заряд $+Q$ равномерно распределён по краю диска. А заряд $-Q$ равномерно распределён по всему диску. Интересно попробовать обсчитать эту модель и сравнить с ответом. Может выйдем на нужный коэффициент.

-- Пн май 24, 2021 08:48:48 --

DimaM в сообщении #1519768 писал(а):

А это ничего, что диск в таком случае не будет эквипотенциальным?
Или задача исключительно в том, чтоб подогнать под "ответ"?

Пока писал, появилось новое сообщение. В чём заключалась задача, пока непонятно. То ли "оценить по порядку величины". Тогда коэффициент при асимптотике нам не нужен. Но ответ дан с коэффициентом. Поэтому думаю его тоже надо найти.

[DimaM]

мат-ламер в сообщении #1519769 писал(а):

заряд $-Q$ равномерно распределён по всему диску

В электростатике в проводниках не может быть объемного заряда, весь заряд на поверхности.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1519769 писал(а):

Пока писал, в голову пришла такая модель. Заряд $+Q$ равномерно распределён по краю диска. А заряд $-Q$ равномерно распределён по всему диску.

Вообще, если диск имел бы толщину, то логична такая модель. Заряд $-Q$ примерно равномерно размазан по ближней поверхности диска. А Заряд $+Q$ примерно равномерно размазан по дальней поверхности. В этом случае метод электрических изображений проходит. Но ответ тогда будет зависеть от толщины диска. А у нас толщина диска стремится к нулю.

-- Пн май 24, 2021 09:05:52 --

DimaM в сообщении #1519771 писал(а):

В электростатике в проводниках не может быть объемного заряда, весь заряд на поверхности.

Это понятно. Но у нас предполагается, что диск имеет бесконечно малую толщину. То есть как бы его "поверхность" находится на окружности диска. Пока этот вопрос представляется для меня неясным.

[DimaM]

мат-ламер в сообщении #1519773 писал(а):

Но у нас предполагается, что диск имеет бесконечно малую толщину. То есть как бы его "поверхность" находится на окружности диска. Пока этот вопрос представляется для меня неясным.

Я тут подумал: поверхностная плотность заряда на диске будет отрицательной в центре и положительной на краю, как-то монотонно изменяясь в промежутке.
Видимо, приближенно это можно представить как два кольца с радиусами $R_1$ и $R_2>R_1$ с зарядами $-q'$ и $q'$.
Такая система колец создает в точке расположения заряда поле

$$E\approx \frac{3}{2}q'\frac{R_2^2-R_1^2}{L^4}.$$

Считая, как ранее, $q'\sim qR^3/L^3$ и предполагая $R_2-R_1\sim R$, получаем силу $F=qE\sim q^2R^5/L^7$.

[мат-ламер]

profilescit
А вы не подскажете, откуда задача? Насколько можно доверять источнику? А то может может быть истинный ответ в задаче и не такой, как в ответе? Допустим, он будет зависеть от толщины диска. То есть, при стремлении этой толщины к нулю и сила взаимодействия будет к нулю стремиться, как тут предположил sergey zhukov .

-- Пн май 24, 2021 09:39:53 --

мат-ламер в сообщении #1519769 писал(а):

Пока писал, в голову пришла такая модель. Заряд $+Q$ равномерно распределён по краю диска. А заряд $-Q$ равномерно распределён по всему диску.

Мне эта модель кажется сильно сомнительной. Тут стоит вопрос, а как найти заряд $Q$ ? Логично искать его из соображений, что его поле должно компенсировать на диске поле удалённого заряда $q$ . И тут стоит вопрос, а каково поле заряда $Q$ на диске? Из соображений симметрии получается, что силовые линии заряда $Q$ по диску проходить не должны. Пока терзают меня смутные сомнения по поводу корректности задачи. В том плане, что ответ должен зависеть от толщины диска.

[profilescit]

Задача с Физического Кубка 2017 года, онлайн олимпиада. https://physicscup.ee/archive/physics-cup-2017/physics-cup-2017-problem-1/

Там опубликованы и лучшие решения участников, среди них есть и очень строгие доказательства.

-- 24.05.2021, 07:51 --

DimaM в сообщении #1519768 писал(а):

А это ничего, что диск в таком случае не будет эквипотенциальным?
Или задача исключительно в том, чтоб подогнать под "ответ"?

Конечно, на диске будет определенное распределение заряда. Однако я предположил что когда считаем силу взаимодействия диска, можно построить такую упрощенную модель. По хорошему это надо строго доказать, но я еще не знаю как.

[мат-ламер]

profilescit в сообщении #1519778 писал(а):

Задача с Физического Кубка 2017 года, онлайн олимпиада.

Если бы знал, что задача олимпиадная и непростая, так и не заходил бы сюда. Но тем не менее, будет интересно разобраться с решением. Пока моё мнение на текущий момент совпадает с уже высказанным тут мнением физиков. Если диск толстый, то заряд на нём будет примерно равномерно распределён передней и задней поверхности диска. Получается диполь. Теперь будем толщину диска устремлять к нулю. Не видно причин, по которым будет увеличиваться неравномерность распределения заряда на поверхностях диска. В то же время дипольный момент диска и сила его притяжения к внешнему заряду будет стремиться к нулю. Вроде к задаче есть подсказки. Интересно будет прочитать.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1519781 писал(а):

Теперь будем толщину диска устремлять к нулю. Не видно причин, по которым будет увеличиваться неравномерность распределения заряда на поверхностях диска.

Она не увеличивается, но в то же время к нулю не стремится. Подсказки пока не читал. Вернее начал читать, но там про какие-то эллипсоиды, что для начала не понятно.

мат-ламер в сообщении #1519781 писал(а):

В то же время дипольный момент диска и сила его притяжения к внешнему заряду будет стремиться к нулю.

Это не так. Разность между заряженностью внутренней и внешней поверхностью диска будет стремиться к нулю. Тем самым продольный дипольный момент будет стремиться к нулю. Но его вклад в силу притяжения будет уменьшаться. Вместе с тем неравномерность электрического поля на диске от внешнего заряда никуда не девается. И её надо как-то компенсировать. И возникает уже поперечный диполь.

[мат-ламер]

Пока думаю задачу решать так. Предположим, что мы живём в двумерном мире, в котором расположен наш диск. И пусть в этом мире действует некоторое поле, которое расталкивает заряды, скажем положительного знака, наружу. Соответственно, отрицательные заряды оно будет группировать вовнутрь. Это поле не может быть вызвано некими зарядами вне диска, поскольку дивергенция его будет отлична от нуля. Будем считать, что эта дивергенция вызвана некими фиктивными зарядами, расположенными на диске. Для того, чтобы компенсировать эти фиктивные заряды, внутренние заряды перераспределяются так, чтобы компенсировать действие фиктивных зарядов. Они его компенсируют, если займут их положение, но с зарядом с обратным знаком. Поскольку общий заряд диска равен нулю, то на границе диска, то есть на окружности тоже будут располагаться заряды. Они на внутреннее поле влияния оказывать не будут. Компенсация будет происходить только за счёт внутренних зарядов. Дивергенцию расталкивающего поля легко вычислить, исходя из того, что дивергенция этого поля в трёхмерном пространстве будет нулевой. То есть просто надо будет вычислить скорость изменения наружного поля в направлении параллельном оси диска. Эта скорость будет примерно одинакова на всей плоскости диска. Поэтому модель, где какие-то заряды равномерно заполняют окружность на границе диска, а какие-то заряды противоположного знака равномерно размазаны по диску, здесь уместна. Другое дело, как найти заряд на окружности диска? А он равен интегралу от двухмерной дивергенции по всему диску. То есть интегралу от скорости изменения внешнего трёхмерного поля по всему диску (в направлении параллельном оси диска).

Подсказки пока не читал. Точнее ничего не понял в первой подсказке, где говорится про какие-то эллипсоиды. Дальше читать не стал.

[amon]

fred1996 в сообщении #1519656 писал(а):

Для простоты можно вообще считать, что диск находится в постоянном поле

В постоянном поле, перпендикулярном плоскости диска, бесконечно тонкий диск не поляризуется вообще. В этом случае вся поляризация связана с отличием поля от постоянного. Точный ответ получится как предел сплюснутого эллипсоида, но это не спортивно. Как оценить ответ сходу не соображу, но должно быть что-то простое, возможно связанное с "разгибанием" сферической эквипотенциальной поверхности в плоскость.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1519812 писал(а):

Поэтому модель, где какие-то заряды равномерно заполняют окружность на границе диска, а какие-то заряды противоположного знака равномерно размазаны по диску, здесь уместна.

Как оказалось, что это не так. На диске сила отталкивания зарядов от центра пропорциональна квадрату расстояния от центра. Поэтому логично предположить, что отрицательно заряженные заряды будут распределены на диске с плотностью, которая будет пропорционально квадрату расстояния от центра.

мат-ламер в сообщении #1519812 писал(а):

Другое дело, как найти заряд на окружности диска?

Простые рассуждения, связанные с балансом сил, показывают, что этот заряд равен заряду, вычисленному несколько постов назад. С учётом того, что отрицательный заряд размазан по диску квадратично, предыдущую оценку числового коэффициента в формуле удалось понизить в три раза с $3/2$ до $1/2$ . Это в СГСЭ. А в СИ этот коэффициент надо разделить на $4\pi \varepsilon_0$ .

profilescit. А где по вашей ссылке можно найти официальный ответ к задаче? Нашёл только кучу официальных подсказок и три труднопонимаемых решения участников.