доказательство свойств несобственного интеграла

[Kevsh]

У нас на лекции эта тема была объяснена вскользь, доказательства были объяснены неподробно. В учебники вообще этих доказательств нет, поэтому решил, вот, расписать самостоятельно, на основе того, что нам дали на лекции. Можете, пожалуйста, посмотреть их и сказать, правильные они или нет. В доказательстве формулы замены переменной я проблем, вроде как, сам не вижу, а вот в доказательстве аддитивности сомневаюсь. Больше всего меня смущают два последних предложения. Я, вроде как, просто расписал аддитивность собственного интеграла (разбил его на два), после чего сказал, что второй из них ($\int_c^{\omega}f(x)dx$) определён. С чего он определён мне не особо понятно, видимо из-за того, что интеграл $\int_a^{\omega}f(x)dx$ определён по условию, а интеграл $\int_a^cf(x)dx$ никак не зависит от $\omega$. Далее я из-за этого же пишу, что интегралы эти сходятся и расходятся одновременно, что у меня тоже вызывает сомнения.

[svv]

Kevsh в сообщении #1519551 писал(а):

С чего он определён мне не особо понятно, видимо из-за того, что интеграл $\int_a^{\omega}f(x)dx$ определён по условию, а интеграл $\int_a^cf(x)dx$ никак не зависит от $\omega$.

Если $A(\varepsilon)=B+C(\varepsilon)$, то пределы
$\lim\limits_{\varepsilon\to 0} A(\varepsilon)$ и $\lim\limits_{\varepsilon\to 0} C(\varepsilon)$
либо оба существуют, либо оба не существуют (по свойству «предел суммы равен сумме пределов, если они существуют»).

Допустим, оба существуют.
Несобственный интеграл
$\int\limits_a^\omega$
есть предел собственного
$=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\int\limits_a^{\omega-\varepsilon}$
который аддитивен:
$=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\left(\int\limits_a^c+\int\limits_c^{\omega-\varepsilon}\right)$
Первое слагаемое, не зависящее от $\varepsilon$, вынесли за предел:
$=\int\limits_a^c+\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\int\limits_c^{\omega-\varepsilon}$
и окончательно
$=\int\limits_a^c+\int\limits_c^\omega$