2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 МРТ. Спектроскопия. Вывод формулы
Сообщение20.05.2021, 16:54 


14/01/09
86
Magnetic Resonance Imaging Physical Principles and Sequence Design Second Edition By Robert W. Brown et. alii © 2014 byJohn Wiley & Sons, Inc

Цитата:
Problem 10.8
a) Show that the information collected at each time point prior to Fourier transformation of the signal along t′ in (10.42) already provides a useful 2D image at t′ = 0.
b) What changes in the image as t′ increases?


$s(k_x, k_y, t') = \int d \sigma \int dx dy \rho(x, y, z) e^{-i2\pi(k_x x + k_y y - \sigma f_0 t')}$ (10.42)

a) При $t'=0$ вырважение становится очевидно равным

$s(k_x, k_y, t') = \int d \sigma \int dx dy \rho(x, y, z) e^{-i2\pi(k_x x + k_y y - \sigma f_0 t')} =
 
\int d \sigma e^{i2\pi \sigma f_0 t'}  \int dx dy \rho(x, y, z) e^{-i2\pi(k_x x + k_y y )} = 

\int d \sigma 1  \int dx dy \rho(x, y, z) e^{-i2\pi(k_x x + k_y y )}$

Только не совсем понятно, как она правда надо проинтегрировать по $\sigma$?

$ \sigma = -\bigtriangleup \omega / \omega_0 $ - это отклонение выраженное в миллионных долях.

Судя по вопросу ответ должен быть таким, что первый интеграл должен быть равен 1.


b) Если рассмотреть общий случай и когда $t\ > 0 $. Но тут получается надо брать интеграл, и опять возникает вопрос какие должны быть пределы интегрирования.

$\int d \sigma e^{i2\pi f_0 t' \sigma }  \int dx dy \rho(x, y, z) e^{-i2\pi(k_x x + k_y y )} = 
\frac{1}{i2\pi f_0 t} \int d (i2\pi f_0 t' \sigma) e^{i2\pi f_0 t' \sigma }  \int dx dy \rho(x, y, z) e^{-i2\pi(k_x x + k_y y )} = \frac{1}{i2\pi f_0 t} e^{i2\pi f_0 t' \sigma } \Big\rvert_{\sigma_{min}}^{\sigma_{max}} \int dx dy \rho(x, y, z) e^{-i2\pi(k_x x + k_y y )}$


Если рассмотреть формулу:
$ \sigma = -\bigtriangleup \omega / \omega_0 $

Выходит, что минимальное значение может быть равно 0, а максимальное 1?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group