МРТ. Спектроскопия. Вывод формулы

[Anton_74]

Magnetic Resonance Imaging Physical Principles and Sequence Design Second Edition By Robert W. Brown et. alii © 2014 byJohn Wiley & Sons, Inc

Цитата:

Problem 10.8
a) Show that the information collected at each time point prior to Fourier transformation of the signal along t′ in (10.42) already provides a useful 2D image at t′ = 0.
b) What changes in the image as t′ increases?

$s(k_x, k_y, t') = \int d \sigma \int dx dy \rho(x, y, z) e^{-i2\pi(k_x x + k_y y - \sigma f_0 t')}$ (10.42)

a) При $t'=0$ вырважение становится очевидно равным

$s(k_x, k_y, t') = \int d \sigma \int dx dy \rho(x, y, z) e^{-i2\pi(k_x x + k_y y - \sigma f_0 t')} = \int d \sigma e^{i2\pi \sigma f_0 t'} \int dx dy \rho(x, y, z) e^{-i2\pi(k_x x + k_y y )} = \int d \sigma 1 \int dx dy \rho(x, y, z) e^{-i2\pi(k_x x + k_y y )}$

Только не совсем понятно, как она правда надо проинтегрировать по $\sigma$?

$ \sigma = -\bigtriangleup \omega / \omega_0 $ - это отклонение выраженное в миллионных долях.

Судя по вопросу ответ должен быть таким, что первый интеграл должен быть равен 1.


b) Если рассмотреть общий случай и когда $t\ > 0 $. Но тут получается надо брать интеграл, и опять возникает вопрос какие должны быть пределы интегрирования.

$\int d \sigma e^{i2\pi f_0 t' \sigma } \int dx dy \rho(x, y, z) e^{-i2\pi(k_x x + k_y y )} = \frac{1}{i2\pi f_0 t} \int d (i2\pi f_0 t' \sigma) e^{i2\pi f_0 t' \sigma } \int dx dy \rho(x, y, z) e^{-i2\pi(k_x x + k_y y )} = \frac{1}{i2\pi f_0 t} e^{i2\pi f_0 t' \sigma } \Big\rvert_{\sigma_{min}}^{\sigma_{max}} \int dx dy \rho(x, y, z) e^{-i2\pi(k_x x + k_y y )}$


Если рассмотреть формулу:
$ \sigma = -\bigtriangleup \omega / \omega_0 $

Выходит, что минимальное значение может быть равно 0, а максимальное 1?